Összegzés: összeadás eredménye

Az összeadás eredményét összegnek vagy szummának nevezik. Az összegzendő elemeket az összeg tagjainak is hívják.

A végtelen összeget konvergens sorozat határértékeként értelmezik.

Az összeadás asszociativitása miatt a zárójelek elhagyhatóak. Például az „1 + 2 + 4” értelmezésénél mindegy, hogy az (1 + 2) + 4 vagy 1 + (2 + 4). A véges összegzés kommutatív is, tehát az összegzés sorrendje is mindegy. (A végtelen összegek átrendezése az abszolút konvergencia témakörébe tartozik.)

Ha a szummának túl sok eleme van ahhoz, hogy egyszerűen leírható legyen, akkor három ponttal jelölik a hiányzó tagokat. Például az első 100 természetes szám összegét így: 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.

Nagy szigma (Σ) jelölés

A matematikában bevezettek egy tömör jelölést a hasonló alakú tagok összegzésére a görög nagy szigma betű segítségével:

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}.}$ 

Az i alsó index az összegzés indexe, m az összegzés alsó határa, az n az összegzés felső határa. Itt az i=m jelölés arra utal, hogy az i index kezdeti értéke m. Az index további értékei szukcesszíven 1-gyel növelve adódnak egészen n-ig. Ebben a kifejezésben az i csak egy betű, bármely más szimbólum használható helyette, a következő példában az indexet k jelöli:

${\displaystyle \sum _{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90.}$ 

Ha az alsó és a felső határ a kontextusból nyilvánvaló, akkor gyakran elhagyják őket:

${\displaystyle \sum x_{i}^{2}}$ 

jelentése:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$ .

Gyakran találkozni a jelölés általánosításával is, ahol a szigma jel alatt logikai kifejezés szerepel és az összegzés a kifejezést kielégítő elemekre értendő. Például az f(k) értékek összege az adott intervallum k egészeire:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$ 

Az f(x) értékek összege az S halmaz minden x elemére:

${\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)}$ 

A μ(d) értékek összege az n szám minden d osztójára:

${\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)}$ 

Egymásba ágyazott összegek leírására használnak egyszerűsített írásmódokat is. Például a

${\displaystyle \sum _{\ell ,\ell '}}$ 

kifejezés egyenértékű az alábbival:

${\displaystyle \sum _{\ell }\sum _{\ell '}.}$ 

Számítógépes jelölés

Az összegzés programozási nyelveken is reprezentálható. Az összegzés az egyik legegyszerűbb és leggyakrabban használt triviális algoritmus a lineáris keresés és az extrémumkeresés mellett. Értelemszerűen 0 értékre, az összeadás neutrális elemére, kell inicializálni a szummaváltozót, bár ez egyes programnyelvekben automatikus.

Az alábbi programkód értelmes C, C++, C# és Java nyelveken, feltételezve, hogy az m és az n értelmezett int típusú változók, továbbá az x egy int alaptípusú vektor, melynek m és n érvényes indexei.

int i; int sum = 0; for (i = m; i <= n; i++)     sum += x[i]; 

Az alábbi implementáció Python nyelvű:

sum(x[m:n+1]) 

Perl programozási nyelvben készült a következő példa:

$sum += $x[$_] for ($m..$n); 

Fortran és Matlab nyelveken értelmes az alábbi kifejezés:

sum(x(m:n)) 

Egy Ruby programozási nyelvű példa a következő:

x[m..n].inject{|a,b| a+b} 

Nem programozási nyelv, hanem dokumentum-leírónyelv a TeX, a LaTeX és a wiki jelölőnyelv, melyeken a következőképpen írható le az összeg:

\sum_{i=m}^n x_i 

Az üres összeg az üres halmaz elemeinek összege. Értéke megegyezés szerint a nullelem, tehát valós számok körében a 0, vektorok körében a nullvektor stb.

Az egytagú összeg megegyezik az egyetlen tagjának értékével.

Monoton függvények összege becsülhető határozott integrálokkal a következőképpen:

Monoton növekvő f függvény esetében:

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\,ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\,ds.}$ 

Monoton csökkenő f függvény esetében:

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\,ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\,ds.}$ 

Általánosabb becslések adhatók az Euler–MacLaurin-képlet segítségével.

Valamely [a, b] intervallumon értelmezett Riemann-integrálható függvények a határozott integrálja becsülhető a Riemann-összegekkel:

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$ 

Az ilyen becslések pontossága a felosztás finomságának, azaz n-nek függvényében növekszik.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$ 

Az alábbi nevezetes azonosságok hasznosak összegek kezelésénél:

• ${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)}$  (A skalárral való szorzás disztributivitása.)
• ${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]}$ 
• ${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)}$ 
• ${\displaystyle \sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x=(n-m+1)x}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x=nx}$  (Az egésszel szorzás definíciója.)
• ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}}$  (Lásd: számtani sorozat)
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {(n+1)(n)}{2}}}$  (A számtani sorozat speciális esete.)
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}}$  (Ahol ${\displaystyle B_{k}}$  a k. Bernoulli-szám.)
• ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-x^{m}}{x-1}}}$  (Lásd: mértani sorozat)
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}}$  (A mértani sorozat m=0 esetben.)
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ix^{i}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}(1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1})}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}x^{i}={\frac {x}{(1-x)^{3}}}(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$  (Lásd binomiális tétel)
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}}$ 
• ${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}\right)\left(\sum _{j}b_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}}$ 
• ${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}\right)^{2}=2\sum _{i}\sum _{j$ 
• ${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=b}^{a}f(n)}$ 
• ${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=-t}^{-s}f(-n)}$ 
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)}$ 
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)}$ 
• ${\displaystyle {\widehat {b}}^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}{\widehat {b}}^{f(n)}}$ 
• ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\sum _{n=a}^{t}f(n)=\sum _{n=a}^{\infty }f(n)}$ 
• ${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}}$ 
• ${\displaystyle \sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b}{n^{2}-b^{2}}}=\sum _{n=1}^{2b}{\frac {1}{2n}}}$ 

Aszimptotikus növekedési sebességek:

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$  (Valós c>-1 értékekre.)
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log n)}$ 
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$  (Valós c>1 értékre.)
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$  (Valós nemnegatív c értékekre.)
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$  (Valós, nemnegatív c és d értékekre.)
• ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$  (Nemnegatív, valós b > 1, c, d értékekre.)

• végtelen sor

• Nemes Nagy József: A „szumma”