थीटा फलन: कई जटिल चर का विशेष कार्य

मूल जैकोबी थीटा फलन अर्ध-दोगुने आवधिक अण्डाकार कार्य हैं और उन्हें अनंत राशि के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\displaystyle \vartheta _{1}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-1/2}\exp[(2k+1)iz+(k+{\tfrac {1}{2}})^{2}\ln(w)]}$ 
${\displaystyle \vartheta _{2}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp[(2k+1)iz+(k+{\tfrac {1}{2}})^{2}\ln(w)]}$ 
${\displaystyle \vartheta _{3}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp[2kiz+k^{2}\ln(w)]}$ 
${\displaystyle \vartheta _{4}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\exp[2kiz+k^{2}\ln(w)]}$ 

प्रोटेस्टेंट जर्मन गणितज्ञ कार्ल गुस्ताव जैकोब जैकोबी ने 1829 में इन विश्लेषणात्मक कार्यों की शुरुआत की।

उन्होंने उन्हें "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" पुस्तक में नोट किया।

अतिरिक्त जैकोबी थीटा फलन को निम्नलिखित तरीकों से अनंत उत्पादों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}$ 
${\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}$ 
${\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]}$ 

ये तीन फलन गणित में नियमित रूप से उपयोग किए जाते हैं और उपरोक्त चार कार्यों से बीजगणितीय रूप से संबंधित हैं।

इन तीन थीटा फलनों का उपयोग करके "sn", "cn" और "dn" फलनों को भी परिभाषित किया जा सकता है।

इन कार्यों के लिए तथाकथित थीटा शून्य मान (जर्मन भाषा में: Theta-Nullwerte) भी परिभाषित किए गए हैं:

${\displaystyle \vartheta _{00}(0;y)=\vartheta _{00}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }y^{k^{2}}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{01}(0;y)=\vartheta _{01}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}y^{k^{2}}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{10}(0;y)=\vartheta _{10}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }y^{(k+{\frac {1}{2}})^{2}}}$ 

यहां दिखाए गए अनंत योग बिल्कुल वही मान देते हैं जो x-मान शून्य के लिए उल्लिखित अनंत उत्पाद हैं।

थीटा कार्यों के लिए जोड़ प्रमेय इस प्रकार हैं:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x_{1}+x_{2};y)\vartheta _{00}(x_{1}-x_{2};y)\vartheta _{00}(y)^{2}=\vartheta _{01}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{01}(x_{2};y)^{2}+\vartheta _{10}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{10}(x_{2};y)^{2}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{01}(x_{1}+x_{2};y)\vartheta _{01}(x_{1}-x_{2};y)\vartheta _{01}(y)^{2}=\vartheta _{00}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{00}(x_{2};y)^{2}-\vartheta _{10}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{10}(x_{2};y)^{2}}$ 

गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने इस पहचान की खोज की और इसे अपने प्रसिद्ध काम "Modular Equations and Approximations to π" में लिखा:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n-1})=(x;x^{2})_{\infty }=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{1/3}}$ 

लियोनार्ड ओइलर द्वारा निम्नलिखित उत्पाद का शोध किया गया था:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=(x;x)_{\infty }=2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}$ 

यदि शर्त "0 < s < 1" लागू होती है, तो निम्न समीकरण मान्य है:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {2s^{k}}{s^{2k}+1}}=\vartheta _{00}(s)^{2}}$ 

अण्डाकार नोम फलन की यह परिभाषा है:

${\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}$ 

फलन "के" निम्नलिखित अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\displaystyle K(r)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi }$ 

कुछ फलन मानों की गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है:

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$ 

जैकोबी पहचान इन समीकरणों से उत्पन्न होती है:

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}}$ 

थीटा फलनों में निम्नलिखित मान होते हैं:

${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-\pi )]=\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{10}[\exp(-\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/8}\pi ^{1/2}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1/2}\Gamma ({\tfrac {5}{8}})^{-1}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=2^{5/6}3^{-5/8}\pi ^{1/2}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})^{-3/2}}$ 

कई फलन मान निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित पहचान सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{2}]=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]}$ 
${\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{2}]=(1-\varepsilon ^{2})^{1/8}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]}$ 
${\displaystyle 27{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{8}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{8}}}=18{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{4}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{4}}}+8\cos[2\arcsin(\varepsilon )]{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}}+1}$ 
${\displaystyle 27{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{8}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{8}}}=18{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{4}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{4}}}+8\sec[2\arctan(\varepsilon )]{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}+1}$ 
${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}5{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-1{\biggr \}}^{5}=64\tan[2\arctan(\varepsilon )]^{2}{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}}$ 

गणना के उदाहरण:

${\displaystyle \exp(-\pi )=q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}$ 
${\displaystyle \exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )=q({\sqrt {2}}-1)}$ 
${\displaystyle \exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )=q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]}$ 

इन मानों को समीकरणों में डालने और फिर उपरोक्त समीकरणों को हल करने से निम्नलिखित मान उत्पन्न होते हैं:

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi )]}}=108^{-1/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}}$ 
${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}=3^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}-1}}}$ 
${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}=3^{-3/4}({\sqrt[{3}]{2}}+1)}$ 
${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-\pi )]}}=3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}}}}$ 
${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}=3^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}}$ 
${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}=108^{-1/4}(2{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}-1)}$ 
${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-\pi )]}}=5^{-1/2}{\sqrt {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}}}$ 
${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}={\tfrac {4}{15}}{\sqrt {10}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {5}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )}$ 
${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}={\tfrac {2}{15}}{\sqrt[{3}]{10}}(3-{\sqrt {3}})\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {15}}\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )}$ 

निम्नलिखित रूप में, पांचवीं घात वाले समीकरणों को निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करके सभी वास्तविक मूल्यों ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$  के लिए हल किया जा सकता है:

ब्रिंग-जेरार्ड रूप में पांचवीं घात वाले समीकरण

${\displaystyle x^{5}+5x=4c}$

${\displaystyle x={\frac {{\bigl [}\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}{\bigr ]}{\sqrt {\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-2\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})\,\vartheta _{00}(Q^{5})-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}}$

${\displaystyle Q=q{\bigl [}(2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c){\bigr ]}}$

एक नमूना गणना नीचे की जाएगी:

${\displaystyle x^{5}+5x=4}$ 
${\displaystyle Q=q{\bigl [}(4+2{\sqrt {2}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+1){\bigr ]}\approx 0.1852028700803001414251518230736124606036037762504611138834393086\ldots }$ 
${\displaystyle x={\frac {{\bigl [}\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}{\bigr ]}{\sqrt {\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-2\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})\,\vartheta _{00}(Q^{5})-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}}$ 
${\displaystyle \vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}\approx 4.3106688371434051223189812373444120877431042797449643802239988424947\ldots }$ 
${\displaystyle {\sqrt {\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-2\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})\,\vartheta _{00}(Q^{5})-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}\approx 0.8214307505002408156481132815452579557748692136637804379130436186844\ldots }$ 
${\displaystyle 4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)\approx 4.7091257125731264427207754419712416939139805731261956048002624603137\ldots }$ 
${\displaystyle x\approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913037835\ldots }$