גאומטריה ספירית: תורה גאומטרית לא אוקלידית

כאשר רדיוס הכדור שואף לאינסוף מתקבלת הגאומטריה המישורית, האוקלידית.

בגאומטריה הספירית הקווים הישרים הם "מעגלים גדולים" - כאלה שרדיוסם שווה לרדיוס הכדור (אלו הם הקווים הגאודזיים במטריקה הסטנדרטית של הספירה). משום כך, כל שני ישרים נחתכים, והגאומטריה אינה אוקלידית. היחס "בין", המשחק תפקיד מרכזי באקסיומטיקה של הילברט לגאומטריה האוקלידית, אינו קיים בגאומטריה הספירית.

כאמור, במשולש ספירי מתקיים: ${\displaystyle \ \alpha +\beta +\gamma >180^{\circ }}$  וברדיאנים: ${\displaystyle \ \alpha +\beta +\gamma >\pi }$ . ההפרש ${\displaystyle \ E=\alpha +\beta +\gamma -\pi }$  נקרא מגרעת המשולש. שטח המשולש נתון על ידי הנוסחה: ${\displaystyle \ E\cdot R^{2}}$ .

באופן כללי, אם נסמן את המגרעת של מצולע בעל n צלעות: ${\displaystyle \ E=\alpha _{1}+...+\alpha _{n}-(n-2)\pi }$  כאשר ${\displaystyle \ \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$  הן זוויות המצולע, אזי שטח המצולע שווה ל ${\displaystyle E\cdot R^{2}}$ .

  ערך מורחב – טריגונומטריה ספירית

 

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה זו:

• משפט פיתגורס - ${\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\frac {b}{R}}\right)}$ .
• משפט הקוסינוסים - ${\displaystyle \,\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma }$ .
• משפט הסינוסים - ${\displaystyle {\frac {\sin {\tfrac {a}{R}}}{\sin \alpha }}={\frac {\sin {\tfrac {b}{R}}}{\sin \beta }}={\frac {\sin {\tfrac {c}{R}}}{\sin \gamma }}}$ .

  מדיה וקבצים בנושא גאומטריה ספירית בוויקישיתוף

• משולש ספירי, באתר MathWorld (באנגלית)
• The Geometry of the Sphere
• Spherical Geometry