הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים:
שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה .
במקרה טענה זו קובעת כי , ושוויון מתקיים אם ורק אם.
הוכחות
המקרה n = 2
נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:
קל לראות כי ולכן משום ש- בהכרח .
הוכחתו של קושי
קושי הוכיח את האי-שוויון בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה":
ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות מספרים, אזי הוא מתקיים לסדרות בנות מספרים – ולכן, באינדוקציה (רגילה) הוא מתקיים לסדרות בנות מספרים, לכל . בנוסף לכך, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים אזי הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מחזקה של שתיים כלשהי, ההוכחה הושלמה.
הצעד הראשון: נניח כי האי-שוויון מתקיים לכל חיוביים. אז
כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל , והשני מן המקרה .
הצעד השני: נניח כי האי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל ; אם נתונים כאשר , נסמן ונקבל
במקרה ניתן להוסיף לשרשרת אי השוויונות גם את הממוצע הלוגריתמי אשר ממוקם בין הממוצע ההנדסי לממוצע החשבוני. כלומר:
הכללות
אחת ההכללות החשובות לאי־שוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב מספר פעמים, למשל .
אם חיוביים ו- שלמים חיוביים וסכומם , אז האי-שוויון הופך להיות
באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם . כאשר כל המקדמים שווים ל- מתקבל אי־שוויון הממוצעים.
בנוסף, ישנן הכללות לאי-שוויון ממוצעים עבור חזקות שונות: זו פונקציה עולה ביחס ל-, כאשר אי-שליליים. אי-שוויון הממוצעים מתקבל כאשר הפונקציה גדולה יותר מכאשר .
This article uses material from the Wikipedia עברית article אי-שוויון הממוצעים, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). התוכן זמין לפי תנאי CC BY-SA 4.0 אלא אם כן נאמר אחרת. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki עברית (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.