Teoremo De Poisson

Se ekzistas vico de provo de Bernoulli kaj se ${\displaystyle p_{n}}$  estas probablo de «sukceso», kaj ${\displaystyle \mu _{n}}$  nombro de «sukcesoj»,

Se

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=0;}$ 
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ;}$ 
3. ${\displaystyle \lambda >0;}$ 

do
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}$ 

Uzante formulon de Bernoulli, devas esti, ke

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}(1-p)^{n-m}={\cfrac {n!}{m!(n-m)!}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m}=}$ 

${\displaystyle ={\cfrac {1}{m}}{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m},}$ 

ĉar

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda \;\Leftrightarrow \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}$ 

ĉe

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}{\cfrac {\lambda }{n}}}=0.}$ 

Sed ĉar

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}={\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+1)}{n}}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+2)}{n}}{\bigg )}\cdot \ldots \cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n)}{n}}{\bigg )}=1;}$ 
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\lambda +o(\lambda ))^{m}=\lambda ^{m};}$ 
3. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}=e^{-\lambda },}$ 

ĉe devita egalaĵo turniĝas en
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}$ 
Q.E.D.

Ĉi tiu artikolo ankoraŭ estas ĝermo pri matematiko. Helpu al Vikipedio plilongigi ĝin. Se jam ekzistas alilingva samtema artikolo pli disvolvita, traduku kaj aldonu el ĝi (menciante la fonton).