Riemann-Problem: Anfangswertproblem

Riemann-Probleme sind hilfreich für das Verständnis hyperbolischer partieller Differentialgleichungen, da in ihnen alle Phänomene wie Schocks, Verdichtungsstöße oder Verdünnungswellen auftauchen. Es sind auch für komplizierte nichtlineare Gleichungen wie die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik exakte Lösungen konstruierbar, was nicht für beliebige Anfangsdaten möglich ist.

In der numerischen Mathematik tauchen Riemann-Probleme in natürlicher Weise in Finite-Volumen-Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen auf. Dort werden die Riemann-Probleme approximativ mittels sogenannter Riemann-Löser angegangen.

Als wichtige hyperbolische partielle Differentialgleichung kann man Erhaltungsgleichungen des folgenden Typs betrachten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}}$ 

Dabei gilt ${\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}}$  und ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ .

Beim Riemann-Problem gilt für den Anfangswert:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L},\quad x<0\\U_{R},\quad x>0\end{cases}}\end{aligned}}}$ 

für ${\displaystyle U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}}$ .

Linearer Fluss

Für den linearen Fluss

${\displaystyle {\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}}$ 

lässt sich die analytische Lösung berechnen. Für ein hyperbolisches Problem ist die Matrix ${\displaystyle A}$  stets diagonalisierbar:

${\displaystyle TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})}$ 

mit einer Basistransformationsmatrix ${\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ .

Mit der Transformation ${\displaystyle W:=T^{-1}U}$  kann man die PDGL entkoppeln:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}}$ 

Entkopplung bedeutet in diesem Fall, dass in der ${\displaystyle i}$ -ten Zeile der PDGL nur noch Ableitungen von ${\displaystyle W_{i}}$  vorkommen.

Jede einzelne Gleichung entspricht einer linearen, skalaren Transportgleichung und somit ist die Lösung einfach zu bestimmen:

${\displaystyle W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t).}$ 

Rücktransformation ergibt nun die gesuchte Lösung:

${\displaystyle U(x,t)=TW(x,t).}$ 

Man kann die Lösung auch anders erhalten, indem man den Sprung der Anfangswerte in der neuen Basis darstellt:

${\displaystyle U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{mit }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} ,}$ 

wobei die ${\displaystyle t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}}$  die Eigenvektoren von ${\displaystyle A}$  sind (also: ${\displaystyle T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})}$ ). Nun ist die Lösung so gegeben:

${\displaystyle U(x,t)=U_{L}+\sum _{\lambda _{j}<{\frac {x}{t}}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{\lambda _{j}>{\frac {x}{t}}}\alpha _{j}t_{j}}$ 

• Eleuterio F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-65966-8.
• Randall J. LeVeque: Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-81087-6.