digamma/To Do

Differenzierbarkeit (fast erl.)

• Beispiele
• eine Variable:
• Knick, eins. Grenzwerte existieren nicht
• best. Divergent (Wurzel)
• Grenzwerte existieren nicht (${\displaystyle x\sin {\tfrac {1}{x}}}$ )
• diffbar, Abl nicht stetig: überarbeiten nach Differentialrechnung (Form),
  
• mehrere Variablen:
• partiell diffbar, aber nicht alle Richtungsableitungen
• Richtungsableitungen nur einseitig
• alle Richtungsableitung, aber nicht total
• total aber Ableitung nicht stetig
• Ergänzung zu mehrere Variablen: Richtungsableitung linear total(?)
• unendl-dim VR:
• keine Koordianten → keine partielle Diffbarkeit
• Gateaux (entspricht Richtungsableitung) Voraussetzungen an die Räume? Sprechweisen (1. Variation)?
• Frechet (entspricht total) Voraussetzungen an die Räume?
• jeweils Verweise auf Hauptartikel, Unterschiede zu endl-dim.
• Zusammenhänge
• neu: Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (bzw. Funktionen auf Mfg.en)
• nur: was ist das? (keine Ableitung, Verweis)

• Beispiel für total diffbar aber nicht stetig diffbar: nicht unbedingt nötig: erledigt
• Bilder mit Graphen zu den Beispielen a la http://komplexify.com/blog/2009/11/21/one-of-my-favorite-counterexamples/ angefragt
• Funktionen einer Variablen: Problemstellung mit Tangente. Zwei Versionen: Sekantensteigung; lineare Approximation;;Verschiedene Formulierungen der linearen Approxi?

neu: Totale Ableitung

vgl. Totale Ableitung

• wann und wo?
• was soll das?   Ok
• Definitionen und Schreibweisen   Ok
• Beispiele
• Spezialfall: totales Differenzial
• Verallgemeinerung: Differenzierbarkeit Mannigfaltigkeit

Totales Differenzial (fast erl.)   Ok

• Abgrenzung:

• partielle Ableitung vs. totale bei Funktion, die explizit und implizit von t abhängt (Physik), Bsp: Funktion von Ort und Zeit, die für bewegten Körper betrachtet wird. erl
• totales Differential einer Funktion mehrerer Veränderlichen als (formale) Differentialform
• Gebrauch in der Thermodynamik? fehlt noch   Ok
• Integrabilität. OK
• totale Ableitung zwischen VRen und zw. Mgfkten. OK

• Ergänzen bei Mannigfaltigkeiten: totales Differential ist Differentialform (1-Form) erl

Partielle Ableitung

• Substantiellere Rechenbeispiele
• Zusammenhang mit Richtungsableitung und totaler Ableitung (Der "Gradient" ergibt nur dann einen Sinn, wenn die Funktion total differenzierbar ist). Genaueres über die Abgrenzung der verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffe werden aber im Artikel Differenzierbarkeit abgehandelt.
• Höhere partielle Ableitungen, mit
  • Definition
  • Satz von Schwarz   Ok
  • Hesseform, Hessematrix   Ok
  • Beispiele
  • Taylorformel, Taylorreihe (nur kurz)   Ok
• Anwendung für die Bestimmung von Extremwerten
  • notwendige Bedingung
  • hinreichende Bedingung (nur: Hessematrix definit)
  • kein Maximum wenn Hesseform indefinit
• Erweiterung für Funktionen (Abbildungen) mit Werten in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ , Jacobi-Matrix
• Verallgemeinerung auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Richtungsableitung

1. Das Beispiel müsste überarbeitet werden. Oder ganz wegfallen. Ein Beispiel für eine Funktion von zwei Variablen, bei der einseitigen Richtungsableitungen existieren, aber nicht die beidseitigen, findet sich in Differenzierbarkeit. (Dort fehlt allerdings noch eine Illustration). Der Vergleich mit der einseitigen Ableitungen bei Funktionen einer Variablen ist schwierig, weil die Linksseitige Ableitung ${\displaystyle f_{-}^{\prime }}$  sich von der linksseitigen Richtungsableitung ${\displaystyle D_{-1}f}$  im Vorzeichen unterscheidet.
2. Stattdessen Beispiele für die Berechnung von Richtungsableitungen
3. Eine Definition für vektorwertige Funktionen.
4. Die Richtungsableitung als Differentialoperator (Derivation) und der Zusammenhang mit
5. Richtungsableitung für Funktionen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Tangentialvektoren als Richtungsableitungen.
6. Hinweis auf Verallgemeinerung: Kovariante Ableitung

Euklidischer Raum (erl.)

• Übergang zu höherer Dimension: erledigt
• Punktraum: erledigt bis auf Bild P -> Q -> R erledigt
• Koordinatenraum: Anschluss an Punktraum und Vektorraum; Standardmodell

erledigt

Skalarprodukt   Ok

Entwurf unter Benutzer:Digamma/Skalarprodukt

Gliederung:

1. Im euklidischen Raum
   1. Geometrisch
   2. In kartesischen Koordinaten
2. Das Standardskalarprodukt
   1. im R^n
      1. Längen (Norm), Winkel und Abstände
   2. im C^n
      1. Längen (Norm) und Abstände
3. Allgemein
   1. Definition
      1. reell
      2. komplex
      3. Norm, Winkel, Abstände
   2. Weitere Beispiele
   3. Dastellung in Koordinaten (evtl. 2 und 3 vertauschen)

Basiswechsel (Vektorraum) (Großteils erledigt)

[Entwurf unter Benutzer:Digamma/Basiswechsel]

Noch nicht überarbeitet sind der Abschnitt über Anwendungen und das Beispiel. Diagonal- oder sonstige Normalform für Abbildungsmatrizen zu finden, ist natürlich eine der Hauptaufgaben des Basiswechsels. So wie der Abschnitt bis jetzt formuliert ist, fehlt aber einiges. Das Beispiel passt, so wie es jetzt formuliert ist, nicht zur Terminologie des Artikels und ist auch sonst nicht ganz koscher. Es müsste gründlich überarbeitet oder durch ein anderes Beispiel ersetzt werden.

Quadrik (inzwischen von anderer Seite erledigt)

Die Klassifikation ist falsch, denn sie berücksichtigt den linearen Teil nicht. Parabeln/Paraboloide werden zum Beispiel nicht erfasst.

Vektor

Entwurf: Benutzer:Digamma/Vektor

Inwischen weitgehend zufrieden. (erledigt Erledigt)

Differenzierbare Mannigfaltigkeit (erl.)

• Differenzierbare Abbildung/Funktion einbauen: i. W. Übernehmen aus Differenzierbarkeit
• Kurz zu Untermannigfaltigkeit

erledigt

Zusammenhang (Differentialgeometrie)

Zusammenhang zwischen den zwei Definitionen

Christoffelsymbole

1. Elementare Differentialgeometrie (Gauß-Weingarten-Gleichungen)   Ok
2. Riemannsche Geometrie (Koordinaten des Zusammenhangs, Zusammenhang mit der Metrik)  Ok
3. Christoffelsymbol als Tensor (Differenz zwischen zwei Zusammenhängen)

Weingartenabbildung

Elementarer formulieren   Ok