Galoisova Grupa

Je to grupa definována pro těleso a jeho konečné rozšíření. Studium rozšíření těles pomocí Galoisovy grupy souvisí s Galoisovou teorií, která vznikla jako nástroj pro popis řešení polynomiálních rovnic. Historicky stál u zrodu této teorie Évariste Galois, který je považován za zakladatele teorie grup.

Nechť ${\displaystyle E}$  je rozšíření tělesa ${\displaystyle F}$  (zapisuje se jako ${\displaystyle E/F}$ ). Automorfizmus ${\displaystyle E/F}$  je takový automorfizmus ${\displaystyle \alpha }$  tělesa ${\displaystyle E}$ , který zachovává všechny prvky ${\displaystyle F}$ , tj. ${\displaystyle \alpha (x)=x}$  pro každé ${\displaystyle x\in F}$ . Množina všech automorfizmů ${\displaystyle E/F}$  spolu s operací skládání tvoří grupu, která se nazývá Galoisova grupa. Značí se ${\displaystyle Gal(E/F)}$ , anebo ${\displaystyle Aut(E/F)}$ .

• ${\displaystyle Gal(\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$  obsahuje dva prvky: identitu a komplexní sdružení.
• Nechť ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$  je těleso racionálních čísel a ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}};\,\,a,b\in \mathbb {Q} \}}$ . Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$  obsahuje identitu a zobrazení ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}}$ .
• Nechť ${\displaystyle p}$  je prvočíslo a ${\displaystyle E=GF(p^{n})}$  je Galoisovo těleso o ${\displaystyle p^{n}}$  prvcích, ${\displaystyle F\simeq GF(p)}$  jeho nejmenší podtěleso. Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$  je cyklická grupa řádu ${\displaystyle p}$ .
• Nechť ${\displaystyle p}$  je ireducibilní polynom s racionálními koeficienty stupně ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle E}$  jeho rozkladové těleso a nechť ${\displaystyle p}$  má v ${\displaystyle E}$  právě dva nereálné kořeny. Pak ${\displaystyle Gal(E/F)}$  (někdy se také nazývá Galoisova grupa polynomu ${\displaystyle p}$ ) je izomorfní symetrické grupě ${\displaystyle S_{n}}$ . Její prvky permutují kořeny polynomu ${\displaystyle p}$ .

Fundamentální věta Galoisovy teorie tvrdí, že podgrupy Galoisovy grupy odpovídají mezitělesům ${\displaystyle F\subseteq X\subseteq E}$ . Tato korespondence přiřadí podgrupě ${\displaystyle H}$  podtěleso ${\displaystyle E}$ , které je fixováno touto podgrupou.

V případě nekonečného rozšíření ${\displaystyle E/F}$  uvažujeme v této korespondenci pouze uzavřené podgrupy vůči tzv. Krollově topologii.

Galoisovy grupy se začaly zkoumat v souvislosti se snahou řešit polynomiální rovnice vyššího stupně pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení a odmocnin racionálních čísel a koeficientů daného polynomu. Takové řešení existuje právě když Galoisova grupa polynomu je řešitelná.