ইউক্লিড মৌলিক উপাদানসমূহ: ইউক্লিডের রচিত বই

 

ইউক্লিড ছিলেন একজন হেলেনিয় গণিতবিদ যিনি আলেকজান্দ্রিয়া থেকে মৌলিক উপাদানসমূহ রচনা করেন খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ শতকের কাছাকাছি সময়ে। বিশেষজ্ঞদের মতে, মৌলিক উপাদানসমূহ মূলত অন্যান্য গণিতবিদ কর্তৃক প্রমাণিত সূত্রের সংকলন যাতে ইউক্লিডের কিছু মৌলিক কাজও রয়েছে। প্রোক্লাস, যিনি ইউক্লিডের বেশ কিছু শতাব্দী পরবর্তী একজন গ্রিক গণিতবিদ ছিলেন, মৌলিক উপাদানসমূহ সম্পর্কে তার মন্তব্যে বলেছেন, ইউক্লিড যিনি মৌলিক উপাদানসমূহ একত্রিত করেছেন, তিনি ইউডক্সাসের অনেক উপপাদ্য সংগ্রহ করেছেন, থিয়েইটেটাসের অনেকগুলো উপপাদ্য ত্রুটিমূক্ত করেছেন, এবং অনেক উপপাদ্যের সঠিক বর্ণনা দিয়েছেন তার বয়োজ্যেষ্ঠরা দূর্বলভাবে প্রমাণ করেছেন।

ইউক্লিডের প্রোক্লোখ্যাত শিষ্যদের প্রকাশিত একটি সংস্করণ আরবি ভাষায় অনুবাদ করা হয় বিজানটিয়াম কর্তৃক আরবিয়দের কাছে পৌছানোর পর এবং সেই অনুবাদ থেকে পরে ল্যাটিন ভাষায় অনূদিত হয়। প্রথম মুদ্রিত সংস্করণ প্রকাশিত হয় ১৪৮২ সালে (জোভান্নি কাম্পানোর ১২৬০ সালের সংস্করণের উপর ভিত্তি করে), তখন থেকে এটি বহুভাষায় অনূদিত হয় এবং প্রায় সহস্রাধিক মূদ্রণ প্রকাশিত হয়। ১৫৭০ সালে জন ডি ব্যাপকভাবে প্রশংসিত “ম্যাথমেটিকাল প্রিফেস” এর সাথে সম্পুরক উপাদান যুক্ত করেন যা হেনরি বিলিংসলির প্রথম ইংরেজি সংস্করণে প্রকাশিত হয়।

গ্রিক গ্রন্থের কপি সংরক্ষিত আছে, ভ্যাটিকান লাইব্রেরি এবং অক্সফোর্ডএর বডলিয়ান লাইব্রেরিতে। মৌলিক উপাদানসমূহ থেকে সরাসরি গৃহীত লিপিসমূহ এবং অন্যান্য গাণিতিক সূত্রসমূহ যা বইটি লেখার সময়ে প্রচলিত ছিল তা এজন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এমন বিশ্লেষণ পাওয়া যায় জে. এল. হাইবার্গ ও স্যার টমাস লিটল হিথএর সংস্করণের লিপিতে। স্কলিয়া বা মূললিপির ব্যাখ্যাসমূহও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই বাড়তি অংশসমূহ, যেগুলো প্রায়শই মূল রচনা থেকে তাদের স্বাতন্ত্র্য্য প্রকাশ করে, বহুবছর ধরে সংযোজিত হয়েছে কোন জটিল জিনিস ব্যাখ্যা করার প্রয়োজনীয়তা থেকে। এর কিছু অংশ গুরুত্বপূর্ণ হলেও অনেক অংশেরই কোন গুরুত্ব নেই।

 

মৌলিক উপাদানসমূহকে এখনো গণিতশাস্ত্রে যুক্তিবিদ্যা প্রয়োগ করার জন্য বিশেষায়িত করা হয় এবং ঐতিহাসিকভাবে এটি বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখাকে ব্যাপকভাবে প্রভাবিত করেছে। বইটির প্রভাব সম্পর্কে জোর দিয়ে কিছু বলা কঠিন। বিজ্ঞানী গ্যালিলিও গ্যালিলি, নিকোলাস কোপারনিকাস, জোহানেস কেপলার এবং বিশেষভাবে আইজাক নিউটন সবাই মৌলিক উপাদানসমূহ দ্বারা প্রভাবিত হয়েছিলেন এবং বইটি থেকে লব্ধ জ্ঞান তাদের কাজে প্রয়োগ করেন। গণিতবিদ বার্ট্রান্ড রাসেল, আলফ্রেড নর্থ হোয়াইটহেড এবং দার্শনিক বারুচ স্পিনোজাও তাদের নিজস্ব মৌলিক উপাদানসমূহ তৈরি করবার প্রচেষ্টা চালান ডিডাকটিভ স্ট্রাকচার স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে গ্রহণ করে। তারা তাদের নিজস্ব ক্ষেত্রসমূহে এই প্রয়াস চালান। আজও প্রাথমিক পর্যায়ের গণিত পাঠ্যবইসমূহে মৌলিক উপাদানসমূহ বা এলিমেন্টস শব্দটি শিরোনাম হিসেবে ব্যবহৃত হয় (উদাহরণ এলিমেন্টস অফ ইনফরমেশন থিউরি)।

মৌলিক উপাদানসমূহ-এর সাফল্যের মূল কারণ ইউক্লিডের কাছে থাকা গাণিতিক বিদ্যার যৌক্তিক বর্ণনা। এর অনেক অংশ তার নিজস্ব না হলেও ব্যাখ্যাগুলো তিনি নিজেই দিয়েছিলেন। পুরো মৌলিক উপাদানসমূহ জুড়ে ইউক্লিডের সিস্টেমেটিক উন্নতি এবং কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধ থেকে গভীর ফলাফল অর্জনে তার ধারাবাহিকতার জন্য এটি প্রায় ২০০০ বছরজুড়ে পাঠ্য হিসেবে ব্যবহৃত হয়েছে। মৌলিক উপাদানসমূহ আধুনিক জ্যামিতির বইগুলোকেও প্রভাবিত করেছে। স্বতঃসিদ্ধ থেকে বইটির যৌক্তিক অগ্রগামিতা এবং এর নিখুঁত প্রমাণ গণিতের মাইলফলক হিসেবে গণ্য হয়।

মৌলিক উপাদানসমূহ প্রধানত জ্যামিতি নিয়ে কাজ করলেও এর কিছু ফলাফল বর্তমানে সংখ্যাতত্ত্বের আওতায় পড়েছে। ইউক্লিড খুব সম্ভবত জ্যামিতির ব্যাপারগুলো সংখ্যাতত্ত্বে ব্যাখ্যা করেছিলেন কেননা তিনি পাটিগণিতের ধারণার ক্ষেত্রে বিশেষ উন্নতি করতে পারেননি। ইউক্লিডের যে কোন প্রমাণের নির্মাণের জন্য এমন কোন প্রমাণ প্রয়োজন যা বাস্তব।

ইউক্লিডের প্রথম বই ২৩ টি সংজ্ঞা দ্বারা সূচিত হয় যার মধ্যে বিন্দু, সরলরেখা এবং তল। এরপর আছে পাঁচটি পস্টুলেট এবং পাঁচটি “কমন নোশন” একসাথে এখন যা স্বতঃসিদ্ধ নামে পরিচিত। এগুলোই পরবর্তী বিষয়সমূহের মূল ভিত্তি:

স্বীকার্যসমূহ

1. একটি সরল রেখাংশ যে কোন দুইটি বিন্দুর সংযোগে অঙ্কন করা যাবে।
2. একটি সরল রেখাংশ অসীমভাবে বর্ধিত করে সরলেখায় পরিণত করা যাবে।
3. একটি প্রদত্ত রেখাংশ থেকে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যাবে যার ব্যাসার্ধ হবে উক্ত রেখাংশটি এবং এর একপ্রান্ত বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।
4. সকল সমকোণ সমপাতিত হয়।
5. যদি দুটি রেখা অঙ্কন করা হয় যা তৃতীয় কোন রেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যাতে তাদের একইদিকের অন্তঃস্থ কোণগুলো দুই সমকোণের চেয়ে ছোট হয় তবে উক্ত রেখাদুটি অবধারিতভাবে পরষ্পরকে ছেদ করবে যদি তাদের উপযুক্ত পরিমাণে বর্ধিত করা হয়।

সাধারণ ধারণা:

1. যদি কতিপয় বস্তু একই বস্তুর সমান হয় তারা পরস্পরের মধ্যেও সমান হবে।
2. যদি সমান সমান অংশের সাথে সমান অংশ যোগ করা হয় তবে যোগফল সমান হবে।
3. যদি সমান সমান অংশ থেকে সমান অংশ বিয়োগ করা হয় তবে বিয়োগফল সমান থাকবে।
4. যেসব বস্তু পরস্পরের উপর সমপাতিত হয় তারা পরস্পর সমান।
5. সম্পূর্ণ বস্তুটি এর অংশবিশেষ থেকে বৃহত্তর।

এই মৌলিক স্বীকার্যসমূহ গঠনমূলক জ্যামিতি সম্পর্কে ইউক্লিড এবং তার সমসাময়িক গ্রিক ও হেলেনিস্টিক গণিতবিদদের ধারণার প্রতিফলন প্রকাশ করে। প্রথম তিনি কনস্ট্রাকশনের জন্য একটি কম্পাস এবং একটি দাগহীন স্কেল (রুলার) প্রয়োজন। দাগাঙ্কিত স্কেল যা নিউসিস কনস্ট্রাকশনএ ব্যবহৃত হয় তা ইউক্লিডের কনস্ট্রাকশন বহির্ভূত।

ইউক্লিডের শেষ পাঁচটি স্বীকার্য বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য। বহুল আলোচিত সমান্তরাল স্বীকার্য অন্যান্য স্বীকার্য থেকে কম নিশ্চিত। ইউক্লিড নিজেও এটিকে মৌলিক উপাদানসমূহ-র অন্যান্য অংশে অল্প ব্যবহৃত হয়েছে। অন্যান্য স্বীকার্যসমূহ থেকে এটি প্রমাণ করা সম্ভব বলে অনেক জ্যামিতিবিদ মত দিলেও এর প্রমাণের সকল প্রচেষ্টা ব্যর্থ হয়েছে।১৯ শতকের মাঝামাঝি সময়ে দেখানো হয়েছে যে এমন কোন প্রমাণ থাকা সম্ভব নয়, একজন নন-ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি কনস্ট্রাকট করতে পারেন যখন ইউক্লিডিয় জ্যামিতির পতন ঘটে। এই কারণে গণিতবিদেরা বলেন যে, প্যারালাল পস্টুলেট অন্যান্য স্বীকার্য থেকে স্বাধীন।নন-ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে সমান্তরাল স্বীকার্যের দুটি বিকল্প আছে: হয় হাইপারবোলিক জ্যামিতি (যা লোবাচেভস্কিয়ান জ্যামিতি নামেও পরিচিত) বা একলিপটিক জ্যামিতি (রিইমাননিয়ান জ্যামিতি)র সরলরেখায় না থাকা একটি বিন্দু থেকে অসীম সংখ্যক সমান্তরাল রেখা অঙ্কন করা যাবে। অন্যান্য জ্যামিতি যুক্তিগতভাবে ধারবাহিক এবং তা বিগ্ঞনের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার, যার ব্যাপক প্রয়োগ বিগ্ঞান ও দর্শনের বিভিন্ন শাখায় দেখা যায়। আইনস্টাইনের সাধারণ অপেক্ষবাদ সূত্র প্রদর্শন করে যে, আমরা যে স্থানে বাস করি তা নন-ইউক্লিডিয় এবং সেজন্যই এতে একটি মাধ্যাকর্ষণ ক্ষেত্র রয়েছে।

বিশ্বব্যাপী গ্রহণযোগ্যতা পাবার পরও মৌলিক উপাদানসমূহ যুক্তিযুক্ত সমালোচনার শিকার হয়েছে। উদাহরণস্বরুপ, বর্ণিত টার্মগুলোকে পূর্ণাঙ্গ ব্যাখ্যা প্রদত্ত সংজ্ঞা দিয়ে সম্ভব নয়। প্রথম ব ইয়ের প্রথম কনস্ট্রাকশনে, ইউক্লিড একটি প্রিমাইস ব্যবহার করেন যা প্রমাণ করা বা স্বতঃসিদ্ধরুপে গ্রহণ করা সম্ভব নয়। এটি হল: দুটি বৃত্ত যা পরস্পর থেকে তাদের ব্যাসার্ধের সমান দুরত্বে অবস্থিত তারা দুটি বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করবে। চতুর্থ কনস্ট্রাকশনে তিনি ত্রিভুজের স্থানান্তর ব্যবহার করে প্রমাণ করেন যে যদি দুটি বাহু এবং তাদের কোণ সমান হয়, তবে তারা সমপাতিত হবে। তিনি স্থানান্তরীকরণকে সংগ্ঞায়িত অথবা স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে গ্রহণ করেননি। নন-ইউক্লিডিয় জ্যামিতি ১৯ শতকের সমসাময়িক গণিতবিদদের আকর্ষিত করে। অগ্রণী গণিতবিদ রিচার্ড ডেডেকিণ্ড এবং ডেভিড হিলবার্ট মৌলিক উপাদানসমূহ-এর স্বতঃসিদ্ধসমূহকে পুনর্গঠন করার চেষ্টা করেন। তারা ইউক্লিডিয় জ্যামিতিকে পরিপূর্ণতা প্রদানের জন্য ধারাবাহিকতা এবং সমপাতনের দুটি স্বীকার্য প্রদান করেন।

• ১৪৬০ রেজিওমনটানুস (অসম্পূর্ণ)
• ১৫৩৩ “এডিটিও প্রিনসেপস” সিমন গ্রিনস
• ১৫৭২ কমানডিনাস
• ১৫৭৪ ক্রিস্টফ ক্ল্যাভিয়াস

অনুবাদ

• ১৫০৫, জামবেরটি (ল্যাটিন)
• ১৫৪৩, ভেন্টুরিনো রাফিনেলি (ইতালীয়)
• ১৫৫৫, জোহান স্কিউবেল (জার্মান)
• ১৫৬২, জ্যাকব কানডিগ (জার্মান)
• ১৫৬৪, পিয়েরে ফরকাডেল ডি বেজিয়ার (ফ্রেঞ্চ)
• ১৫৭০, জন ডে (ইংরেজি)
• ১৫৭৬, রডরিগো ডি জামোরানো (স্প্যানিশ)
• ১৫৯৪, টিফোগ্রাফিয়া মেডিসিয়া (নাসির আল-দীন আল-টুসির আরবীয় অনুবাদের সংস্করণ)
• ১৬৬০, আইজাক ব্যারো (ইংরেজি)

• প্রথম বইতে আছে মৌলিক বর্ণনা: পিথাগোরাসের সূত্র, কোণ ও স্থানের সাম্যতা, সামান্তরিকতা, একটি ত্রিভুজের কোণের সমুষ্টি এবং

তিনটি অবস্থা যাতে ত্রিভুজ সমূহ সমান হয় (অর্থাৎ তারা সমান স্থান দখল করে)

• দ্বিতীয় বইটিকে সাধারণভাবে “জ্যামিতিক বীজগণিত”এর বই বলা হয় কেননা এই বইয়ের বিষয়গুলো বীজগণিতএর সাথে সরাসরি

সম্পর্কযুক্ত

• তৃতীয় বইটি বৃত্ত ও তাদের গুণাবলীর বর্ণনা করে।
• চতুর্থ বই বহিঃস্থ ও অন্তঃস্থ ত্রিভুজ ও নিয়মিত বহুভূজকে গুরুত্ব দেয়।

গণিতবিদ এবং ডব্লিউ ডব্লিউ রোজ বোল সমালোচনাকে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা চালান এবং উল্লেখ করেন, বাস্তবতা হল দু’হাজার বছর ধরে মৌলিক উপাদানসমূহ পাঠ্যবই ছিল এবং তা একটি দৃঢ় ধারণার জন্ম দেয় যে এটি সে উদ্দেশ্য পূরণের উপযুক্ত নয়।