Вышыня́ трохвугольніка — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні трохвугольніка да прамой, якая змяшчае процілеглую старану.
У залежнасці ад віду трохвугольніка вышыня можа праходзіць унутры трохвугольніка (для востравугольнага трохвугольніка), супадаць з яго стараною (катэтам прамавугольнага трохвугольніка) ці праходзіць па-за трохвугольнікам (для тупавугольнага).
Вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, так званым артацэнтры. Гэта сцвярджэнне лёгка даказаць, карыстаючыся вектарнаю тоеснасцю, справядліваю для любых пунктаў A, B, C, E (нават калі яны не ляжаць у адной плоскасці):
(Каб даказасць тоеснасць, трэба скарыстаць формулы
У якасці пункта E трэба ўзяць перасячэнне дзвюх вышынь трохвугольніка.)
У востравугольным трохвугольніку артацэнтр ляжыць унутры трохвугольніка; у тупавугольным — па-за трохвугольнікам; у прамавугольным — у вяршыні прамога вугла.
Асновы вышынь утвараюць так званы ортатрохвугольнік, які мае свае ўласцівасці.
Найменшая з вышынь трохвугольніка мае экстрэмальныя уласцівасці. Напрыклад:
Найменшая артаганальная праекцыя трохвугольніка на прамыя, што ляжаць у плоскасці трохвугольніка, мае даўжыню, роўную найменшай з яго вышынь.
Найменшы прамалінейны разрэз у плоскасці, праз які можна працягнуць незгінальную трохвугольную пласціну, павінен мець даўжыню, роўную найменшай з вышынь гэтай пласціны.
Пры непарыўным руху двух пунктаў па перыметры трохвугольніка насустрач адзін аднаму, найбольшая адлегласць паміж імі не можа быць меншаю за даўжыню найменшай з вышынь трохвугольніка.
Найменшая вышыня ў трохвугольніку заўсёды праходзіць унутры гэтага трохвугольніка.
Асноўныя суадносіны
дзе — плошча трохвугольніка, — даўжыня стараны трохвугольніка, на якую апушчана вышыня.
, дзе r — радыус упісанай акружнасці.
Вышыня раўнабедранага трохвугольніка, апушчаная на аснову:
дзе — аснова.
— вышыня ў роўнастароннім трохвугольніку.
Тэарэма аб вышыні прамавугольнага трохвугольніка
Калі вышыня даўжынёю h, праведзеная з вяршыні прамога вугла, дзеліць гіпатэнузу даўжынёю c на адрэзкі m і n, адпаведныя катэтам b і a, то верныя наступныя роўнасці:
This article uses material from the Wikipedia Беларуская article Вышыня трохвугольніка, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Матэрыял даступны на ўмовах CC BY-SA 4.0, калі не пазначана іншае. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Беларуская (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.