Problema De Tresporte

Dispónense ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  puntos d'ufierta o factoríes con una producción determinada (representada per aciu d'un vector, F) y ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$  puntos de demanda o mercaos de demanda determinada (vector M):

${\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{n};\;F=(F_{1},F_{2},F_{3},\cdots ,F_{n})}$ 
${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{m};\;M=(M_{1},M_{2},M_{3},\cdots ,M_{m})}$ 

Amás se dispose como datu d'una matriz de precios, C, de mou que ${\displaystyle C_{ij}}$  ye'l preciu d'unvíu por unidá dende la factoría ${\displaystyle F_{i}}$  al mercáu ${\displaystyle M_{j}}$ :

${\displaystyle C\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {R} )}$ 

L'oxetivu ye calcular una nueva matriz, X, de forma que ${\displaystyle X_{ij}}$  seya'l númberu d'unidaes que s'unvíen dende la factoría ${\displaystyle F_{i}}$  al mercáu ${\displaystyle M_{j}}$ .

${\displaystyle X\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {R} )}$ 

Con estos datos podemos formular les condiciones que han de se cumplir:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{ij}\geq M_{j}\;\;\forall j\in \mathbb {N} /1\leq j\leq m}$ 
${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}X_{ij}\leq F_{i}\;\;\forall i\in \mathbb {N} /1\leq i\leq n}$ 
${\displaystyle X_{ij}\geq 0\;\;(i,j\in \mathbb {N} ;1\leq i\leq n;1\leq j\leq m)}$ 

El preciu total a pagar pol tresporte, ${\displaystyle C_{T}}$ , que s'ha minimizar, determinará se pola suma de los productos del precuo de cada unidá pol coste d'unvíu por unidá de cada fábrica a cada mercáu:

${\displaystyle C_{T}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}X_{ij}\cdot C_{ij}}$ 
${\displaystyle \min \;C_{T}}$ 

Problemes balanceaos

Dizse que'l problema ta balanceáu cuando cúmple que:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\sum _{j=1}^{m}M_{j}}$ 

(o, abreviadamente, ${\displaystyle \sum F=\sum M}$ , ye dicir, la ufierta ye igual a la demanda).

En casu de que ${\displaystyle \sum F>\sum M}$ , incorporaríase un mercáu adicional al problema, el mercáu artificial, ${\displaystyle M_{a}}$ , de mou que la demanda seya l'escedente y el costu d'unvíu a esti mercáu seya nulu:

${\displaystyle C_{ia}=0\;\;\forall i\in \mathbb {N} /1\leq i\leq n}$ .