Péndulu

El péndulu (del lat.

pendŭlus, pendiente) ye un sistema físicu que puede bazcuyar so l'acción gravitatoria o otra carauterística física (elasticidá, por casu) y que ta configuráu por una masa suspendida d'un puntu o d'una exa horizontal fixos por aciu un filo, una baniella, o otru dispositivu que sirve pa midir el tiempu.

Péndulu
Péndulu
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Péndulu
Péndulu simple en movimientu harmónicu con oscilaciones pequeñes.
Péndulu
Péndulu na Catedral Metropolitana, Ciudá de Méxicu.

Esisten bien variaos tipos de péndulos que, atendiendo a la so configuración y usos, reciben los nomes apropiaos: péndulu simple, péndulu compuestu, péndulu cicloidal, doble péndulu, péndulu de Foucault, péndulu balísticu, péndulu de torsión, péndulu esféricu, etcétera.

Los sos usos son bien variaos: midida del tiempu (reló de péndulu, metrónomu, ...), midida de la intensidá de la gravedá, etc.

Péndulu simple o matemáticu

Péndulu 
Componentes del pesu de la masa pendular.

Tamién llamáu péndulu ideal ta constituyíu por un filo inextensible de masa despreciable, sosteníu pel so estremu cimeru d'un puntu fixu, con una masa puntual suxeta nel so estremu inferior que bazcuya llibremente nun planu vertical fixu.

Al dixebrar la masa pendular del so puntu d'equilibriu, bazcuya a entrambos llaos de dicha posición, moviéndose sobre una trayeutoria circular con movimientu periódicu.

Ecuación del movimientu

Pa escribir la ecuación del movimientu vamos reparar la figura axunta, correspondiente a una posición xenérica del péndulu. La flecha azul representa'l pesu de la masa pendular. Les fleches en color violeta representen les componentes del pesu nes direiciones tanxencial y normal a la trayeutoria.

Aplicando la Segunda llei de Newton na direición del movimientu, tenemos


Péndulu 

onde'l signu negativu tien en cuenta que la Péndulu  tien direición opuesta a la del desplazamientu angular positivu (escontra la derecha, na figura). Considerando la rellación esistente ente l'aceleración tanxencial y l'aceleración angular


Péndulu 

llogramos finalmente la ecuación diferencial del movimientu planu del péndulu simple


Péndulu 

Periodu d'oscilación

Péndulu 
Factor d'amplificación del periodu d'un péndulu, pa una amplitú angular cualesquier. Pa ángulos pequeños el factor val aproximao 1 pero tiende a infinitu pa ángulos cercanos a π (180°).

L'astrónomu y física italianu Galileo Galilei reparó que'l periodu d'oscilación ye independiente de l'amplitú, siquier pa pequeñes oscilaciones. Sicasí, aquel depende del llargor del filo. El periodu de la oscilación d'un péndulu simple acutáu a oscilaciones de pequeña amplitú puede averase por:


Péndulu 

Pa oscilaciones mayores la rellación exacta pal periodu nun ye constante cola amplitú y arreya integrales elíptiques de primera especie:

    Péndulu 

Onde φ0 ye l'amplitú angular máxima. La ecuación anterior puede desenvolvese en serie de Taylor llográndose una espresión más útil:

    Péndulu 

Solución de la ecuación de movimientu

Péndulu 
Pa pequeñes oscilaciones l'amplitú ye casi senoidal, p'amplitúes más grandes la oscilación yá nun ye senoidal. La figura amuesa un movimientu de gran amplitú Péndulu  (negru), xunto a un movimientu de pequeña amplitú Péndulu  (gris).

P'amplitúes pequeñes, la oscilación puede averase como combinación llinial de funciones trigonométriques. P'amplitúes grandes puede probase l'ángulu puede espresase como combinación llinial de funciones elíptiques de Jacobi. Pa ver esto basta tener en cuenta que la enerxía constitúi una integral de movimientu y usar el métodu de la cuadradura pa integrar la ecuación de movimientu:


Péndulu  Péndulu 

Onde, na última espresión usóse la fórmula del ángulu doble y onde amás:

    Péndulu , ye la enerxía, que ta rellacionada cola máxima amplitú Péndulu .
    Péndulu , ye la enerxía potencial.

Realizando en variable Péndulu , la solución de les ecuaciones del movimientu puede espresase como:

Péndulu 

Onde:

    Péndulu , ye la función elíptica de Jacobi tipu senu.
    Péndulu 

El lagrangiano del sistema ye Péndulu , onde Péndulu  ye l'ángulu que forma la cuerda del péndulu a lo llargo de les sos oscilaciones (ye la variable), y Péndulu  ye'l llargor de la cuerda (ye la lligadura). Si aplíquense les ecuaciones de Lagrange llegar a la ecuación final del movimientu: Péndulu . Esto ye, la masa nun inflúi nel movimientu d'un péndulu.

Péndulu esféricu

Péndulu 
Péndulu de Foucault nel hemisferiu sur.

Un péndulu esféricu ye un sistema con dos graos de llibertá. El movimientu ta confináu a la una porción de superficie esférica (de radiu l) entendida ente dos paralelos. Esisten dos integral de movimientu integrales de movimientu, la enerxía Y y la componente del momentu angular paralela a la exa vertical Mz. La función lagrangiana vien dada por:

Péndulu 

Onde Péndulu  ye l'ángulu polar y Péndulu  ye l'ángulu que forma'l filo o barra del péndulu cola vertical. Les ecuaciones de movimientu, llograes introduciendo'l lagrangiano anterior nes ecuaciones de Euler-Lagrange son:

Péndulu 

La segunda ecuación espresa la constancia de la componente Z del momentu angular y por tanto lleva a la rellación ente la velocidá de xiru polar y el momentu angular y por tanto a reescribir la lagrangiana como:

Péndulu 

Y el problema queda amenorgáu a un problema unidimensional.

Periodu

El movimientu d'un péndulu esféricu polo xeneral nun resulta periódicu, yá que ye la combinación de dos movimientos periódicos de periodos xeneralmente inconmensurables. Sicasí'l movimientu resulta cuasiperiódico, lo cual significa qu'afitáu una posición y una velocidá previes del movimientu esiste un tiempu T tal que'l movimientu va pasar a una distancia tan pequeña como se deseye d'esa posición con una velocidá tan paecida como se quiera, pero ensin repitise esautamente. Dada que la rexón de movimientu amás resulta compacta, el conxuntu de puntos la trayeutoria d'un péndulu esféricu constitúi un conxuntu trupu sobre una área esférica entendida ente dos casquetes esféricos.

Solución de la ecuación de movimientu

Les ecuaciones de movimientu pueden espresase en términos d'integrales elíptiques de primer especie y tercer especie:

Péndulu 

Ver tamién

  • doble péndulu
  • oscilador harmónicu
  • péndulu balísticu
  • péndulu cicloidal
  • péndulu cónicu
  • péndulu de Foucault
  • péndulu de Newton
  • péndulu de Pohl
  • péndulu de torsión
  • péndulu esféricu
  • péndulu físicu
  • péndulu simple
  • péndulu simple equivalente
  • reló de péndulu
  • teorema de Huygens

Referencies

Bibliografía

Enllaces esternos

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