Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 22

Zeige, dass die Zuordnung aus dem Beweis zuSatz 22.4,die einem Schnitt${\displaystyle {}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}}$eine Čech-Kohomologieklassezu ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ zuordnet, unabhängig von den gewählten lokalen Repräsentanten in ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}}$ und ein Gruppenhomomorphismusist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einzusammenhängendertopologischer Raum.Zeige, dass ${\displaystyle {}H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$, wobei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ hier die Garbe der lokal konstanten Funktionenin ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ bezeichnet,torsionsfreiist.

Eine Garbe von kommutativen Gruppen${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ auf einem topologischen Raum${\displaystyle {}X}$ heißt diskret, wenn für jeden Schnitt${\displaystyle {}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}$die Menge ${\displaystyle {}{\left\{x\in X\mid s_{x}\neq 0\right\}}}$ diskretundabgeschlossenin ${\displaystyle {}U}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund ${\displaystyle {}G}$ einekommutative Gruppe.Zeige, dass durch

${\displaystyle {}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}:={\left\{s:U\rightarrow G\mid {\left\{x\in U\mid s(x)\neq 0\right\}}{\text{ ist diskret und abgeschlossen in }}U\right\}}\,}$

einediskrete Garbeauf ${\displaystyle {}X}$ gegeben ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Zeige, dass die Garbe der Hauptteilverteilungeneinediskrete Garbeist. Kann man sie im Sinne vonAufgabe 22.3beschreiben?

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Fläche.Zeige, dass die Divisorengarbeeinediskrete Garbeist. Kann man sie im Sinne vonAufgabe 22.3beschreiben?

Eintopologischer Raumheißtnormal, wenn die einzelnen Punkte abgeschlossensind und es in ihm zu je zwei disjunkten${\displaystyle {}Y,Z\subseteq X}$offene Mengen${\displaystyle {}Y\subseteq U}$und${\displaystyle {}Z\subseteq V}$mit${\displaystyle {}U\cap V=\emptyset }$gibt.

Es sei${\displaystyle {}X=U\cup V}$eine offene Überdeckungeines normalentopologischen Raumes${\displaystyle {}X}$ und sei${\displaystyle {}D\subseteq U\cap V}$eine in ${\displaystyle {}U\cap V}$ abgeschlosseneTeilmenge. Wir betrachten denAbschluss${\displaystyle {}{\overline {D}}}$ von ${\displaystyle {}D}$ in ${\displaystyle {}X}$.Zeige die folgenden Aussagen.

1. Ein Punkt${\displaystyle {}P\in {\overline {D}}\setminus D}$gehört entweder zu ${\displaystyle {}U}$ oder zu ${\displaystyle {}V}$.
2. Die Menge ${\displaystyle {}{\overline {D}}\setminus D}$ besitzt eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen

   ${\displaystyle {}{\overline {D}}\setminus D=F_{1}\cup F_{2}\,}$

   mit${\displaystyle {}F_{1}\subseteq U}$und${\displaystyle {}F_{2}\subseteq V}$.

3. Es sei nun ${\displaystyle {}D}$ zusätzlichdiskret.Dann besitzt ${\displaystyle {}{\overline {D}}}$ eine Zerlegung in disjunkte abgeschlossene Teilmengen

   ${\displaystyle {}{\overline {D}}=E_{1}\cup E_{2}\,}$

   mit${\displaystyle {}E_{1}\subseteq U}$und${\displaystyle {}E_{2}\subseteq V}$.

4. Im diskreten Fall besitzt ${\displaystyle {}D}$ eine Zerlegung

   ${\displaystyle {}D=D_{1}\cup D_{2}\,}$

   mit${\displaystyle {}{\overline {D_{1}}}=E_{1}}$und${\displaystyle {}{\overline {D_{2}}}=E_{2}}$.

Zeige anhand destopologischen Raumes${\displaystyle {}X=\{a,b,c\}}$mit den offenen Mengen${\displaystyle {}\emptyset ,X,\{a\},U=\{a,b\},V=\{a,c\}}$, dassAufgabe 22.6ohne die Normalitätsvoraussetzung nicht gilt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einnormalertopologischer Raum,sei${\displaystyle {}X=U\cup V}$eineoffene Überdeckungund sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ einediskrete Garbevon kommutativen Gruppen auf ${\displaystyle {}X}$. Es sei${\displaystyle {}h\in \Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {G}}\right)}}$. Zeige, dass es Schnitte ${\displaystyle {}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}$und${\displaystyle {}g\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}}$mit${\displaystyle {}h=f{|}_{U\cap V}-g{|}_{U\cap V}}$gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einnormalertopologischer Raumund sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ einediskrete Garbevon kommutativen Gruppen auf ${\displaystyle {}X}$. Zeige ${\displaystyle {}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}})=0}$.