Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 23

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einetopologische Mannigfaltigkeitund sei${\displaystyle {}z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })}$ein ersterČech-Kozykelin der Garbe der lokal konstanten Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ mit Werten in ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$, der durch ${\displaystyle {}f_{ij}}$ zur Überdeckung${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$mit ${\displaystyle {}U_{i}}$ zusammenhängendrepräsentiert sei. Es sei

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow X}$

einstetiger Wegmit${\displaystyle {}\gamma ([0,1])\subseteq U_{i}}$für ein ${\displaystyle {}i}$. Zeige

${\displaystyle {}\int _{\gamma }z=0\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einetopologische Mannigfaltigkeitund sei${\displaystyle {}z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })}$ein ersterČech-Kozykelin der Garbe der lokal konstanten Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$ mit Werten in ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$. Zeige, dass zu einem stetigen Weg

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\longrightarrow X}$

dieAuswertung${\displaystyle {}\int _{\gamma }z}$ mit der Auswertung des zurückgezogenen Kozykels ${\displaystyle {}\gamma ^{*}z}$ und dem identischen Weg auf ${\displaystyle {}[0,1]}$ übereinstimmt.