Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 21

Es sei${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$eineoffene Überdeckungeinestopologischen Raumes${\displaystyle {}X}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbe von kommutativen Gruppenauf ${\displaystyle {}X}$. Zeige

${\displaystyle {}{\check {H}}^{0}(U_{i},i\in I,{\mathcal {G}})=\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\,.}$

Es sei${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$eineoffene Überdeckungeinestopologischen Raumes${\displaystyle {}X}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbe von kommutativen Gruppenauf ${\displaystyle {}X}$. Es sei${\displaystyle {}s\in {\check {C}}^{k}({U_{i}},{\mathcal {G}})}$einČech-Kozykel,der für ein bestimmtes${\displaystyle {}J=\{i_{0},i_{1},\ldots ,i_{k}\}\subseteq I}$den Wert${\displaystyle {}a\in \Gamma {\left(U_{J},{\mathcal {G}}\right)}}$und für alle anderen ${\displaystyle {}(k+1)}$-elementigen Teilmengen${\displaystyle {}J'\neq J}$ den Wert ${\displaystyle {}0}$ besitzt. Bestimme${\displaystyle {}\delta (s)\in {\check {C}}^{k+1}({U_{i}},{\mathcal {G}})}$.

Zeige, dass derČech-Komplexin der Tat ein Komplexist.

Wir betrachten auf dem Kreis ${\displaystyle {}S^{1}}$ die Überdeckung mit drei offenen (zu reellen Intervallenhomöomorphen)Kreissegmenten${\displaystyle {}S^{1}=U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}}$,deren Durchschnitte ${\displaystyle {}U_{i}\cap U_{j}}$ Intervalle seien. Es sei ${\displaystyle {}G}$ einediskretetopologische Gruppeund ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ die Garbe der lokal konstanten ${\displaystyle {}G}$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Bestimme ${\displaystyle {}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},U_{3},{\mathcal {G}})}$.

Es sei${\displaystyle {}X=A\cup B}$die Vereinigung von zwei Kreisen, die sich in einem Punkt ${\displaystyle {}P}$ treffen(also eine „Acht“). Wir betrachten die offene Überdeckung ${\displaystyle {}U_{1},U_{2},U_{3}}$ von ${\displaystyle {}X}$, wobei ${\displaystyle {}U_{1}}$ eine offener Dreiviertelkreis von ${\displaystyle {}A}$ ist, der ${\displaystyle {}P}$ nicht enthält, wobei ${\displaystyle {}U_{2}}$ ein offener Dreiviertelkreis von ${\displaystyle {}B}$ ist, der ${\displaystyle {}P}$ nicht enthält, und wobei ${\displaystyle {}U_{3}}$ den Punkt ${\displaystyle {}P}$ enthält und von beiden Kreisen einen offenen Halbkreis ausschneidet. Es sei ${\displaystyle {}G}$ einediskretetopologische Gruppeund ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ die Garbe der lokal konstanten ${\displaystyle {}G}$-wertigen Funktionen auf ${\displaystyle {}X}$. Bestimme ${\displaystyle {}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},U_{3},{\mathcal {G}})}$.

Auf der Kugeloberfläche ${\displaystyle {}S^{2}}$ fixieren wir ein „Dreieck“, etwa eines, das ein Achtel der Oberfläche einnimmt. Es seien ${\displaystyle {}K_{1},K_{2},K_{3}}$ die Kanten des Dreieckes. Dann ist

${\displaystyle {}U_{i}=S^{2}\setminus K_{i}\,}$

homöomorphzum ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, der Durchschnitt

${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{2}=S^{2}\setminus {\left(K_{1}\cup K_{2}\right)}\,}$

ist ebenfalls homöomorph zum ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$, dagegen zerfällt der Dreierdurchschnitt ${\displaystyle {}U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}}$ in zwei Teile, nämlich das offene innere Dreieck und die offene Restfläche, die beide homöomorph zum ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ sind. Es sei ${\displaystyle {}G}$ einediskretetopologische Gruppeund ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ die zugehörige Garbe der lokal konstanten Funktionenmit Werten in ${\displaystyle {}G}$. Bestimme denČech-Komplexzu dieser Überdeckung und berechne${\displaystyle {}{\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}})}$ und ${\displaystyle {}{\check {H}}^{2}(U_{i},{\mathcal {G}})}$.

Wir betrachten einen Torus

${\displaystyle {}X\cong S^{1}\times S^{1}\,}$

und darauf einen Kreis${\displaystyle {}Z=S^{1}\times \{P\}}$.Es sei${\displaystyle {}W\cong S^{1}\times I}$ein offener Streifen um ${\displaystyle {}Z}$ und es sei

${\displaystyle {}W=U_{1}\cup U_{2}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}U_{1},U_{2}}$ homöomorph zu offenen Rechtecken seien und sich an den jeweiligen Enden überlappen (es liegt also um den Kreis eine Verdickung der Situation ausBeispiel 21.7vor).Es sei

${\displaystyle {}U_{3}=T\setminus Z\,.}$

Berechne${\displaystyle {}{\check {H}}^{1}(U_{1},U_{2},U_{3},{\mathcal {G}})}$, wobei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ dieGarbe der lokal konstanten Funktionenmit Werten in einer kommutativen Gruppe${\displaystyle {}G}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einezusammenhängenderiemannsche Flächeund ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ eineinvertierbare Untergarbeder Garbe der meromorphen Funktionenauf ${\displaystyle {}X}$. Bestimme eine Beschreibung von ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ alsČech-Kozykelvon ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ einewelke Garbeauf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$ und sei${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$eineoffene Überdeckung.Zeige

${\displaystyle {}{\check {H}}^{1}(U_{i},i\in I,{\mathcal {G}})=0\,.}$

Es seien

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{j\in J}V_{j}\,}$

offene Überdeckungeneinestopologischen Raumes${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}W_{ij}:=U_{i}\cap V_{j}\,}$

mit der Indexmenge ${\displaystyle {}I\times J}$ eine gemeinsame Verfeinerungder beiden Überdeckungen ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raumund ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbe von kommutativen Gruppenauf ${\displaystyle {}X}$. Es sei${\displaystyle {}U_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, eineoffene Überdeckungvon ${\displaystyle {}X}$, die eine Verfeinerungder offenen Überdeckung${\displaystyle {}V_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, sei. Zeige, dass die Verfeinerungsabbildung

${\displaystyle {\check {H}}^{1}({\mathfrak {V}},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}({\mathfrak {U}},{\mathcal {F}})}$

unabhängig von der Indexabbildung${\displaystyle {}\alpha \colon I\rightarrow J}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ eineGarbe von kommutativen Gruppenauf einem topologischen Raum${\displaystyle {}X}$, es sei${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$eineoffene Überdeckungund sei${\displaystyle {}g_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {G}}\right)}}$einČech-Kozykelzur gegebenen Garbe und Überdeckung. Es sei${\displaystyle {}\alpha ,\beta \in I}$mit

${\displaystyle {}g_{\alpha ,\beta }=h_{\alpha }{|}_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }}-h_{\beta }{|}_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }}\,}$

mit${\displaystyle {}h_{\alpha }\in \Gamma {\left(U_{\alpha },{\mathcal {G}}\right)}}$und${\displaystyle {}h_{\beta }\in \Gamma {\left(U_{\beta },{\mathcal {G}}\right)}}$.Es sei${\displaystyle {}J=I\setminus \{\alpha ,\beta \}}$und${\displaystyle {}W=U_{\alpha }\cup U_{\beta }}$.Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Familie${\displaystyle {}U_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$,zusammen mit ${\displaystyle {}W}$ ist ebenfalls eine offene Überdeckung von ${\displaystyle {}X}$.
2. Zu${\displaystyle {}i\in J}$sind

   ${\displaystyle {}f_{i}={\begin{cases}g_{i\alpha }+h_{\alpha }{\text{ auf }}U_{i}\cap U_{\alpha }\,,\\g_{i\beta }+h_{\beta }{\text{ auf }}U_{i}\cap U_{\beta }\,,\end{cases}}\,}$

   wohldefinierte Schnitte aus ${\displaystyle {}\Gamma {\left(U_{i}\cap W,{\mathcal {G}}\right)}}$.

3. Die Familie ${\displaystyle {}g_{ij}}$, ${\displaystyle {}i,j\in J}$und ${\displaystyle {}f_{i}}$ aus ${\displaystyle {}\Gamma {\left(U_{i}\cap W,{\mathcal {G}}\right)}}$ zu${\displaystyle {}i\in J}$ist ein Kozykel zu ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$ zur Überdeckung aus (1).
4. Der Kozykel aus (2) definiert die gleiche ersteČech-Kohomologieklassewie der ursprüngliche Kozykel.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund ${\displaystyle {}G}$ eineGruppe.EineÜberlagerung${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$heißt eine${\displaystyle {}G}$-Überlagerung,wenn eine fasertreueGruppenoperation${\displaystyle {}G\times Y\rightarrow Y}$fixiert ist derart, dass es eine offene Überdeckung${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$gibt und${\displaystyle {}G}$-invarianteHomöomorphismen

${\displaystyle G\times U_{i}\longrightarrow p^{-1}(U_{i})}$

über ${\displaystyle {}U_{i}}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund ${\displaystyle {}G}$ eineGruppe.Zeige, dass ${\displaystyle {}G\times X}$, wobei ${\displaystyle {}G}$ mit der diskreten Topologieversehen wird, in natürlicher Weise eine${\displaystyle {}G}$-Überlagerungvon ${\displaystyle {}X}$ ist.

Zeige, dass zwei${\displaystyle {}G}$-Überlagerungen${\displaystyle {}p_{1},p_{2}\colon Y\rightarrow X}$als Überlagerungen isomorph sein können, ohne dass sie als ${\displaystyle {}G}$-Überlagerungen isomorph sind.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raum,${\displaystyle {}G}$ eine Gruppeund${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eine${\displaystyle {}G}$-Überlagerung.Zeige, dass es sich um einenormale Überlagerunghandelt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raum,${\displaystyle {}G}$ eine Gruppeund${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$eine${\displaystyle {}G}$-Überlagerung.Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ eineUntergruppederDecktransformationsgruppeist.

Es sei${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$einenormale Überlagerungmit ${\displaystyle {}Y}$ hausdorffsch,lokal wegzusammenhängendundzusammenhängend. Es sei ${\displaystyle {}G}$ dieDecktransformationsgruppe.Zeige, dass ${\displaystyle {}Y}$ eine${\displaystyle {}G}$-Überlagerungist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl,${\displaystyle {}G=\mathbb {Z} /(p)}$und${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} /(p)}$.Es sei${\displaystyle {}X={\mathbb {C} }^{\times }}$.Wir ordnen ${\displaystyle {}k}$ eine ${\displaystyle {}G}$-Überlagerung${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$in der folgenden Weise zu: Wenn${\displaystyle {}k=0}$ist, so nimmt man die ${\displaystyle {}p}$-fache disjunkte Vereinigung von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }^{\times }}$ und lässt den Erzeuger der Gruppe durch eine zyklische Vertauschung der Kopien operieren.Wenn ${\displaystyle {}k}$ eine Einheitmodulo ${\displaystyle {}p}$ ist, so ist${\displaystyle {}Y={\mathbb {C} }^{\times }}$,die Abbildung ist die Potenzierung ${\displaystyle {}z\mapsto z^{p}}$ und die ${\displaystyle {}G}$-Operation ist dadurch gegeben, dass der Erzeuger der Gruppe als Multiplikation mit ${\displaystyle {}\zeta ^{k}}$ wirkt, wobei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine fixierte ${\displaystyle {}p}$-te primitive Einheitswurzelist. Zeige, dass dabei nichtisomorphe ${\displaystyle {}G}$-Überlagerungen entstehen.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund ${\displaystyle {}G}$ einekommutative Gruppe.Zeige, dass die Menge der${\displaystyle {}G}$-Überlagerungen(wobei ${\displaystyle {}G}$-isomorphe Überlagerungen miteinander identifiziert werden)in einer natürlichen Bijektion mit derersten Kohomologiegruppe${\displaystyle {}{\check {H}}^{1}(X,G)}$, wobei ${\displaystyle {}G}$ hier die Garbe der lokal konstanten Funktionenmit Werten in ${\displaystyle {}G}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ ein topologischer Raumund sei${\displaystyle {}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$einHomomorphismuszwischen denGarben von kommutativen Gruppen${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {G}}}$auf ${\displaystyle {}X}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu eineroffenen Überdeckung${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}}).}$

2. Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}}).}$

Es sei

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

einekurze exakte SequenzvonGarben von kommutativen Gruppenauf einemtopologischen Raum${\displaystyle {}X}$. Zeige, dass dann eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}{\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {F}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {H}})}$

vorliegt.