Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 2

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne vonSatz 2.1der Funktion

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k},}$

in jedem Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$.

Bestimme den lokalen Exponenteneines Polynoms ${\displaystyle {}f}$, dessen Ableitung durch

${\displaystyle {}f'(z)={\left(z-a_{1}\right)}^{r_{1}}\cdots {\left(z-a_{m}\right)}^{r_{m}}\,}$

(mit verschiedenen ${\displaystyle {}a_{i}}$)gegeben ist, in jedem Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$.

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne vonSatz 2.1der komplexen Exponentialfunktion

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,}$

in jedem Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$.

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne vonSatz 2.1der komplexen Sinusfunktion

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,}$

in jedem Punkt${\displaystyle {}P\in {\mathbb {C} }}$.

Es sei${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$einezusammenhängendeoffene Teilmengeund ${\displaystyle {}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$eine nichtkonstanteholomorphe Funktion.Zeige, dass die Menge der Punkte${\displaystyle {}P\in U}$,für die derlokale Exponent${\displaystyle {}\geq 2}$ ist, diskretist.

Zeige, dass jede offene Teilmenge${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$einekomplexe Mannigfaltigkeitmit der Identität als einziger Karte ist.

Zeige, dass jede offene Teilmenge${\displaystyle {}U\subseteq M}$einerkomplexen Mannigfaltigkeiteine komplexe Mannigfaltigkeit ist.

Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?

Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ einezusammenhängendereelle Mannigfaltigkeitder Dimension ${\displaystyle {}2}$ und sei weiter vorausgesetzt, dass ${\displaystyle {}M}$ einen abzählbarenAtlasbesitzt. Zeige, dass es eine surjektivestetige Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M}$

gibt.

Wir betrachten den topologischen Raum, der entsteht, wenn man zweimal ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ nimmt und die beiden ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$ miteinander in natürlicher Weise identifiziert (verklebt).Zeige, dass das entstehende Objekt keinHausdorff-Raumist und somit auch keine komplexe Mannigfaltigkeit,obwohl es zwei Karten mit dem Kartenbild ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ gibt.

Zeige, dass die Wurzelfläche zu${\displaystyle {}f(z)=z}$im Sinne vonKorollar 2.8in natürlicher Bijektion mit ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ selbst steht, wobei der Projektion die Quadratabbildung entspricht.

Es sei${\displaystyle {}f(z)=z^{3}+az+b}$(mit${\displaystyle {}a,b\in {\mathbb {C} }}$)ein kubisches Polynom ohne mehrfache Nullstelle und sei ${\displaystyle {}V}$ die zugehörige Wurzelfläche im Sinne vonKorollar 2.8.Versuche, ${\displaystyle {}V}$ (bzw. reelle Ausschnitte davon)für geeignete Parameter ${\displaystyle {}a,b}$ zu skizzieren.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eineriemannsche Flächeund sei${\displaystyle {}D\subseteq X}$eine endliche Teilmenge. Zeige, dass ${\displaystyle {}X}$ genau dannzusammenhängendist, wenn ${\displaystyle {}X\setminus D}$ zusammenhängend ist.

Vergleiche die zu einem Polynom${\displaystyle {}f\in {\mathbb {C} }[Z]}$zugehörige Wurzelfläche${\displaystyle {}V={\left\{(z,w)\in {\mathbb {C} }^{2}\mid w^{2}=f(z)\right\}}}$über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ im Sinne vonKorollar 2.8mit der Spektrumsabbildung${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left(A_{D}\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}}$zu einemquadratischen Zahlbereich${\displaystyle {}A_{D}}$ zu einer quadratfreien Zahl${\displaystyle {}D}$.