Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 13

Es sei also${\displaystyle {}K\subseteq L=K[x]=K[X]/(F)}$ vom Grad ${\displaystyle {}d}$ mit dem Minimalpolynom${\displaystyle {}F}$ gegeben. Dieses Polynom ${\displaystyle {}F}$ ist genau dann separabel, wenn es in ${\displaystyle {}M}$ genau ${\displaystyle {}d}$ Nullstellen besitzt. Diese Nullstellen stehen gemäßSatz 6.4in Bijektion zu den${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismenvon${\displaystyle {}L=K[X]/(F)}$nach ${\displaystyle {}M}$.

Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}n}$, bei${\displaystyle {}n=0}$ist der Grad der Körpererweiterung gleich ${\displaystyle {}1}$ und es gibt auch nur die ${\displaystyle {}K}$-Einbettung${\displaystyle {}K\subseteq M}$. Es sei die Aussage für ${\displaystyle {}n}$ bewiesen. Wir betrachten die Körperkette

${\displaystyle {}K\subseteq K'=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\subseteq K'[x_{n+1}]=L\,.}$

Wir wissen also, dass es ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}K'}$ verschiedene ${\displaystyle {}K}$-Einbettungen von ${\displaystyle {}K'}$ nach ${\displaystyle {}M}$ gibt. Aufgrund derGradformelgenügt es zu zeigen, dass es für${\displaystyle {}K'\subseteq K'[x_{n+1}]=L}$so viele ${\displaystyle {}K'}$-Einbettungen von ${\displaystyle {}L}$ in ${\displaystyle {}M}$ gibt, wie es der Körpergrad ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K'}L}$ vorgibt. Es genügt also, den Fall${\displaystyle {}n=1}$zu beweisen, und dieser folgt ausLemma 13.6.

Dies folgt unmittelbar ausLemma 13.7undBemerkung 13.4.

Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad ${\displaystyle {}1}$ trivial ist. Es sei${\displaystyle {}x\in L}$, ${\displaystyle {}x\not \in K}$,mit Minimalpolynom ${\displaystyle {}F\in K[X]}$. Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper

${\displaystyle {}K\subseteq K[x]\cong K[X]/(F)\subseteq L\,,}$

wobei dieGrademit${\displaystyle {}d_{1}=\operatorname {grad} _{K}K[x]}$,${\displaystyle {}d_{2}=\operatorname {grad} _{K[x]}L}$und mit${\displaystyle {}d=d_{1}d_{2}=\operatorname {grad} _{K}L}$bezeichnet seien. Es sei${\displaystyle {}K\subseteq M}$ein Körper, über dem ${\displaystyle {}F}$ und die ${\displaystyle {}F_{i}}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \Psi \colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)},}$

wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. NachLemma 13.7gibt es ${\displaystyle {}d}$ verschiedene${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismenvon ${\displaystyle {}L}$ nach ${\displaystyle {}M}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist${\displaystyle {}K[x]\subseteq L}$eine separable Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}d_{2}}$ und daher gibt es nachLemma 13.6zu jedem fixierten ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus von ${\displaystyle {}K[x]}$ nach ${\displaystyle {}M}$ genau ${\displaystyle {}d_{2}}$ ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen von ${\displaystyle {}L}$ nach ${\displaystyle {}M}$, die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von ${\displaystyle {}\Psi }$ ist also stets gleich ${\displaystyle {}d_{2}}$ und somit besitzt das Bild ${\displaystyle {}\operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)}}$ genau ${\displaystyle {}d_{1}}$ Elemente. Also gibt es ${\displaystyle {}d_{1}}$ ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen von${\displaystyle {}K[x]\cong K[X]/(F)}$nach ${\displaystyle {}M}$ und somit ist ${\displaystyle {}F}$, wiederum nachLemma 13.6,ein separables Polynom.

Wir gehen von der Inklusion${\displaystyle {}K'=K(b_{0},\ldots ,b_{k})\subseteq M}$aus. Die Körpererweiterung${\displaystyle {}K'\subseteq L}$ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger ${\displaystyle {}x}$, und ${\displaystyle {}G\in K'[X]}$ ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in ${\displaystyle {}M[X]}$ ist. Somit ist ${\displaystyle {}G}$ nachLemma 7.12auch das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}x}$ über ${\displaystyle {}K'}$. Daher ist${\displaystyle {}L=M[X]/(G)}$und${\displaystyle {}L=K'[X]/(G)}$und insbesondere

${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{M}L=\operatorname {grad} \,(G)=\operatorname {grad} _{K'}L\,.}$

Nach derGradformel,angewendet auf${\displaystyle {}K'\subseteq M\subseteq L}$,folgt${\displaystyle {}K'=M}$.

Wenn ${\displaystyle {}K}$ einendlicher Körperist, so ist auch ${\displaystyle {}L}$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nachSatz 9.6die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass ${\displaystyle {}K}$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in${\displaystyle {}K\subseteq L}$nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}L=n}$.Jeder von ${\displaystyle {}L}$ verschiedene Zwischenkörper${\displaystyle {}M_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,k}$,ist ein maximal ${\displaystyle {}(n-1)}$-dimensionaler${\displaystyle {}K}$-Untervektorraumvon ${\displaystyle {}L}$ und daher gibt es eine von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene${\displaystyle {}K}$-lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi _{i}\colon L\longrightarrow K}$

mit${\displaystyle {}\varphi _{i}(M_{i})=0}$.Zu ${\displaystyle {}\varphi _{i}}$ gehört ein lineares Polynom ${\displaystyle {}P_{i}}$(in ${\displaystyle {}n}$ Variablen)^[1]mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom${\displaystyle {}P=\prod _{i=1}^{k}P_{i}}$ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper${\displaystyle {}M_{i}\neq L}$gleich ${\displaystyle {}0}$. Da ${\displaystyle {}K}$ unendlich ist, gibt es aber nachAufgabe 13.26auch Elemente${\displaystyle {}a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L}$mit${\displaystyle {}P(a)\neq 0}$.Der von einem solchen Element ${\displaystyle {}a}$ über ${\displaystyle {}K}$ erzeugte Körper muss gleich ${\displaystyle {}L}$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.

Es sei nun

${\displaystyle {}L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)\,}$

eine einfache Körpererweiterung mit demMinimalpolynom${\displaystyle {}F\in K[X]}$. Für jeden Zwischenkörper${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$, ist${\displaystyle {}L=M(x)}$und das Minimalpolynom ${\displaystyle {}G}$ von ${\displaystyle {}x}$ über ${\displaystyle {}M}$ ist in ${\displaystyle {}M[X]}$ und insbesondere in ${\displaystyle {}L[X]}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}F}$. NachLemma 13.12besteht die Beziehung${\displaystyle {}M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})}$,wobei die ${\displaystyle {}b_{j}}$ die Koeffizienten von ${\displaystyle {}G}$ sind. Da ${\displaystyle {}F}$ in ${\displaystyle {}L[X]}$ nur endlich viele (normierte)Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.

Dies folgt unmittelbar ausSatz 13.13,da ja${\displaystyle {}K\subseteq M}$unter der Voraussetzung auch nur endlich viele Zwischenkörper besitzt.

Bei ${\displaystyle {}K}$ endlich folgt die Aussage sofort ausSatz 9.6,wir können also ${\displaystyle {}K}$ als unendlich annehmen. Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$. Es genügt zu zeigen, dass man sukzessive zwei Erzeuger davon durch einen Erzeuger ersetzen kann. Dabei ist${\displaystyle {}K\subseteq K[x_{1},x_{2}]}$ebenfalls separabel. Es sei also${\displaystyle {}L=K[x,y]}$gegeben und${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} _{K}L}$.Es sei${\displaystyle {}K\subseteq M}$eine Körpererweiterung, unter der die Minimalpolynome von ${\displaystyle {}x}$ und von ${\displaystyle {}y}$ in Linearfaktoren zerfallen. Es gibt gemäßLemma 13.7${\displaystyle {}n}$ ${\displaystyle {}K}$-Einbettungen

${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\colon L\longrightarrow M.}$

Wir betrachten das Polynom

${\displaystyle {}P=\prod _{i\neq j}{\left((\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))X+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)\right)}\,,}$

das zu ${\displaystyle {}M[X]}$ gehört. Dies ist nicht das Nullpolynom, da keiner der Linearfaktoren gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Daher besitzt ${\displaystyle {}P}$ nur endlich viele Nullstellen und somit gibt es, da ${\displaystyle {}K}$ unendlich ist, ein ${\displaystyle {}c\in K}$ mit ${\displaystyle {}P(c)\neq 0}$. Die Elemente${\displaystyle {}\sigma _{i}(x+cy)=\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)}$sind alle verschieden. Aus${\displaystyle {}\sigma _{i}(x)+c\sigma _{i}(y)=\sigma _{j}(x)+c\sigma _{j}(y)}$für${\displaystyle {}i\neq j}$folgt nämlich${\displaystyle {}(\sigma _{i}(y)-\sigma _{j}(y))c+\sigma _{i}(x)-\sigma _{j}(x)=0}$,und ${\displaystyle {}c}$ wäre doch eine Nullstelle von ${\displaystyle {}P}$. Es gibt also ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Einbettungen von ${\displaystyle {}K(x+cy)}$ nach ${\displaystyle {}M}$ und insbesondere ist${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}K(x+cy)\geq n}$,also ist${\displaystyle {}K(x+cy)=L}$.