Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 13
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Es sei eineendliche Körpererweiterung, derenGrad eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eineeinfache Körpererweiterung vorliegt.
Aufgabe
Es sei einKörper und derQuotientenkörper desPolynomrings . Zeige, dass eineeinfache, aber keineendliche Körpererweiterung ist.
Aufgabe
Es sei einKörper und einseparables Polynom.Zeige, dass ein Teiler von ebenfalls separabel ist.
Aufgabe
Aufgabe *
Es sei eineendlicheseparable Körpererweiterungund, ,ein Zwischenkörper. Zeige, das auch eine separable Körpererweiterung ist.
Aufgabe
Es sei einKörperderCharakteristik und sei einirreduzibles Polynom,dessen Grad kein Vielfaches von sei. Zeige, dass separabelist.
Aufgabe
Es sei einKörperderCharakteristik und sei, ,einirreduzibles Polynom.Zeige, dass die Körpererweiterung
nichtseparabelist.
Aufgabe
Es sei einKörperderCharakteristik und sei, ,einirreduzibles Polynom.Zeige, dass die Körpererweiterung
separabelist.
Aufgabe
Es sei einKörperderCharakteristik und sei eineKörpererweiterung,dessen Gradkein Vielfaches von sei. Zeige, dass diese Körpererweiterungseparabelist.
Aufgabe
Es sei einKörperderCharakteristik und sei eine-graduierte Körpererweiterung.Zeige, dass diese Erweiterung genau dannseparabelist, wenn die Ordnungvon kein Vielfaches von ist.
Aufgabe
Bestimme die Anzahl der-Algebrahomomorphismenvon nach .
Aufgabe
Es sei eineprimitive-te komplexe Einheitswurzel.Bestimme die Anzahl der-Algebrahomomorphismenvon nach .
Aufgabe *
Seieine endliche Körpererweiterungund ein Element. Es seien
die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei die Menge der verschiedenen Werte . Zeige, dass dann für das Minimalpolynom von die Gleichung
gilt.
Aufgabe *
Seieineendliche KörpererweiterungvomGrad und seiendie verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei und,. Zeige, dass dann
gilt.
Aufgabe
DiskutiereLemma 13.12für die Extremfälleund.
Aufgabe
DiskutiereLemma 13.12für die Körpererweiterungund den Zwischenkörper .
Aufgabe *
Wir betrachten dieKörpererweiterung
mit.Bestimme die Minimalpolynomezu über den folgenden Zwischenkörpern, .
- .
- .
- .
- .
In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.
EinKörper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabelist.
Aufgabe
Es sei einvollkommener Körperund eineendliche Körpererweiterung.Zeige, dasseineseparable Körpererweiterungist.
Aufgabe
Zeige, dass jederKörper derCharakteristik vollkommen ist.
Aufgabe
Zeige, dass jederalgebraisch abgeschlossene Körpervollkommen ist.
Aufgabe
Zeige, dass einendlicher Körpervollkommenist.
Aufgabe *
Es sei einKörperderCharakteristik. Zeige, dass genau dannvollkommenist, wenn derFrobeniushomomorphismusauf surjektivist.
Aufgabe
Zeige, dass der Körper der rationalen Funktionen nichtvollkommenist.
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel für eineendlicheeinfache Körpererweiterung , die nichtseparabelist.
Aufgabe
Man gebe ein Beispiel für eine graduierte Körpererweiterung,die nicht einfachist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein unendlicher Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion
nicht die Nullfunktion ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei einKörper und derQuotientenkörper desPolynomrings . Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen und gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei einKörper und derQuotientenkörper desPolynomrings . Es sei, , , ein Zwischenkörper. Zeige, dass eineendliche Körpererweiterung ist.
Mit wird der Quotientenkörper des Polynomrings bezeichnet.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei einKörper der positiven Charakteristik. Wir betrachten die Körpererweiterung
Zeige, dass dies keineeinfache Körpererweiterungist.
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