Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 14

Automorphismen und Nullstellen

Beispiel

Wir betrachten denZerfällungskörper ${}L$ zum Polynom ${}X^{8}-1$ , also den achten Kreisteilungskörper. Er wird von einer primitiven achten Einheitswurzel ${}\zeta$ erzeugt und besitzt nachBeispiel 12.9die Darstellungen

{}L=\mathbb {Q} [\zeta ]/{\left(\zeta ^{4}+1\right)}=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }]\,.

Die Nullstellen von ${}X^{8}-1$ sind die acht verschiedenen Einheitswurzeln, die die Potenzen von ${}\zeta$ sind. Die primitiven Einheitswurzeln besitzen allesamt das Minimalpolynom ${}X^{4}+1$ . Die ${}\mathbb {Q}$ -Automorphismen

\varphi \colon L\longrightarrow L

führen die achten Einheitswurzeln ineinander über, und zwar werden primitive Einheitswurzeln auf primitive Einheitswurzeln angebildet. Die komplexe Konjugation bildet ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{7}$ und ${}\zeta ^{3}$ auf ${}\zeta ^{5}$ und ${}\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ auf ${}\zeta ^{6}=-{\mathrm {i} }$ ab. Der durch ${}{\sqrt {2}}\mapsto -{\sqrt {2}}$ und ${}{\mathrm {i} }\mapsto {\mathrm {i} }$ gegebene Automorphismus(vergleicheLemma 12.15) ${}\zeta ={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ bildet ${}\zeta$ auf ${}\zeta ^{5}$ und ${}\zeta ^{3}$ auf ${}\zeta ^{7}$ ab. In jedem Fall induziert jeder Automorphismus eine Permutation der achten Einheitswurzeln, also der Nullstellen des Polynoms ${}X^{8}-1$ .

Lemma

Es sei ${}K$ einKörper, ${}F\in K[X]$ einPolynomund ${}L=Z(F)$ derZerfällungskörpervon ${}F$ . Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ die Nullstellen von ${}F$ in ${}L$ .

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\longrightarrow S(\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\})$

derGaloisgruppe in diePermutationsgruppeder Nullstellen.

Beweis

Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ . NachLemma 10.15ist ${}\varphi (\alpha _{i})$ wieder eine Nullstelle von ${}F$ , daher muss ${}\varphi {\left(\alpha _{i}\right)}=\alpha _{j}$ für ein gewisses ${}j$ sein. Dies definiert ein Abbildung der Nullstellenmenge in sich selbst. Da ${}\varphi$ injektivist, ist auch diese induzierte Abbildung injektiv, also nachLemma 10.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))bijektivund somit einePermutation.Die Gesamtzuordnung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Da die Nullstellen ein Erzeugendensystem des Zerfällungskörpers bilden, liegt nachLemma 10.14ein injektiver Homomorphismus vor.

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Beispiel

NachBeispiel 11.2ist

{}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,

eine KörpererweiterungvomGrad ${}3$ und dabei sind, wenn man die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ mit ${}\alpha$ bezeichnet, neben ${}\alpha$ auch ${}\beta =\alpha ^{2}-2$ und ${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2$ Nullstellen der definierenden Gleichung. Somit besitzen die Elemente ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ das Minimalpolynom ${}X^{3}-3X+1$ . Durch

\varphi \colon L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\longrightarrow L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)},\,X\longmapsto \beta ,

wird ein nichtidentischer ${}\mathbb {Q}$ -Algebraautomorphismusauf ${}L$ festgelegt. Dieser sendet ${}\alpha$ auf ${}\beta$ , ${}\beta$ wegen

{}{\begin{aligned}\varphi (\beta )&=\varphi (\alpha ^{2}-2)\\&=\beta ^{2}-2\\&=(\alpha ^{2}-2)^{2}-2\\&=\alpha ^{4}-4\alpha ^{2}+4-2\\&=\alpha {\left(3\alpha -1\right)}-4\alpha ^{2}+2\\&=-\alpha ^{2}-\alpha +2\\&=\gamma \end{aligned}}

auf ${}\gamma$ und ${}\gamma$ aufgrund einer ähnlichen Rechnung zurück auf ${}\alpha$ . Die einzigen Automorphismen ${}\operatorname {Id} ,\varphi ,\varphi ^{2}$ entsprechen also den geraden Permutationen ${}\operatorname {Id} ,\alpha \mapsto \beta \mapsto \gamma \mapsto \alpha ,\alpha \mapsto \gamma \mapsto \beta \mapsto \alpha$ auf der Nullstellenmenge ${}\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$ .

Definition

Es sei ${}K$ einKörper und ${}A$ einekommutative ${}K$ -Algebra. Zwei über ${}K$ algebraischeElemente ${}\alpha ,\beta \in A$ heißen konjugiert, wenn ihreMinimalpolynomeübereinstimmen.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eineendliche Körpererweiterungund es seien ${}\alpha$ und ${}\beta$ konjugierteElemente aus ${}L$ . Es sei ${}L$ der Zerfällungskörperdes gemeinsamen Minimalpolynoms ${}F$ dieser beiden Elemente.

Dann gibt es einen ${}K$ -Algebraautomorphismus ${}\varphi$ von ${}L$ mit ${}\varphi (\alpha )=\beta$ .

Beweis

Zunächst gibt es wegen

{}K[\alpha ]\cong K[X]/(F)\cong K[\beta ]\,

einen ${}K$ -Algebrahomomorphismus ${}\varphi$ von ${}K[\alpha ]$ nach ${}K[\beta ]$ . Der Körper ${}L$ ist über diesen beiden Unterkörpern derZerfällungskörpervon ${}F$ . Daher gibt es nachSatz 11.6einen ${}K$ -Algebraautomorphismus von ${}L$ nach ${}L$ , der ${}\varphi$ fortsetzt.

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Das Lemma von Dedekind

Die Menge der Charaktere auf einem Monoid ${}G$ in einen Körper ${}K$ , also ${}\operatorname {Char} \,(G,K)$ , ist selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoids von ${}G$ nach ${}K^{\times }$ . Da Charaktere insbesondere Abbildungen von ${}G$ nach ${}K$ sind, kann man von Linearkombinationenvon Charakteren sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das Lemma von Dedekind.

Satz

Es sei ${}G$ einMonoid, ${}K$ einKörperund ${}\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\in \operatorname {Char} \,(G,K)$ seien ${}n$ Charaktere.

Dann sind diese Charakterelinear unabhängig(als Elemente in ${}\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$ ).

Beweis

Es sei

{}a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,

wobei die ${}\chi _{i}$ verschiedene Charaktere seien und alle ${}a_{i}\in K$ von ${}0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei ${}n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen ${}\chi (e_{G})=1$ ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest ${}n\geq 2$ .Wegen ${}\chi _{1}\neq \chi _{2}$ gibt es auch ein ${}g\in G$ mit

${}\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)$ .Wir behaupten die Gleichheit(wieder von Abbildungen von ${}G$ nach ${}K$ )

{}a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.

Für ein beliebiges ${}h\in G$ ist nämlich

{}{\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom ${}\chi _{1}(g)$ -fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man ${}\chi _{1}$ elimineren und erhält eine nichttriviale(wegen ${}a_{2}\neq 0$ und der Wahl von ${}g$ )lineare Relation zwischen ${}\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von ${}n$ .

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Galoiserweiterungen

Aus dem Lemma von Dedekind ergibt sich eine direkte Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer endlichen Körpererweiterung.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist

${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\leq \operatorname {grad} _{K}L\,.$

Beweis

NachSatz 10.16ist ${}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ endlich. Wir setzen ${}m={\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}$ und ${}n=\operatorname {grad} _{K}L$ und müssen ${}m\leq n$ zeigen. Nehmen wir also ${}m>n$ an. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine ${}K$ -Basisvon ${}L$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien ${}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$ . Wir betrachten die Matrix

{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})&\cdots &\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})&\cdots &\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}.

IhrRangist maximal gleich ${}n$ , da sie nur ${}n$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den ${}m$ Spalten, sagen wir

{}b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,

wobei nicht alle ${}b_{j}$ gleich ${}0$ sind. Wir betrachten nun

\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j},

wobei wir die Automorphismen ${}\varphi _{j}$ alsCharakterevon ${}L^{\times }$ nach ${}L^{\times }$ auffassen. Für ein beliebiges Element ${}v\in L$ schreiben wir ${}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}$ .Mit diesen Bezeichnungen gilt

{}{\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen ${}\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})=0$ sind für jedes ${}i$ . Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, wasnach Satz 14.6nicht sein kann.

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Eine wichtige Frage ist, wann in der vorstehenden Abschätzung Gleichheit vorliegt, wann es also so viele Automorphismen wie möglich gibt. Dies machen wir zur Grundlage der folgenden Definition. Wir werden später noch viele äquivalente Eigenschaften kennenlernen.

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

{}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,

gilt.

Lemma

Es sei ${}K$ einKörper mit einerCharakteristik ${}\neq 2$ und sei ${}K\subseteq L$ einequadratische Körpererweiterung.

Dann ist ${}K\subseteq L$ eineGaloiserweiterung.

Beweis

SieheAufgabe 14.13.

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Die vorstehende Aussage ist ein Spezialfall der Aussage, dass graduierte Körpererweiterungen unter der Voraussetzung, dass hinreichend viele Einheitswurzeln im Grundkörper vorhanden sind, Galois-Erweiterungen sind. Dazu brauchen wir ein vorbereitendes Lemma.

Lemma

Es sei ${}G$ eineendliche kommutative Gruppe mit demExponenten ${}m$ , und es sei ${}K$ ein Körper, der eineprimitive ${}m$ -te Einheitswurzel besitzt.

Dann sind ${}G$ und ${}G^{\vee }$ isomorphe^[1] Gruppen.

Beweis

NachLemma 12.14 (2)undSatz Anhang 4.2.kann man annehmen, dass ${}G=\mathbb {Z} /(n)$ eine endlichezyklische Gruppeist, und dass ${}K$ eine ${}n$ -te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus

\varphi \colon G\longrightarrow K^{\times }

ist durch ${}\zeta =\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, und wegen

{}\zeta ^{n}=(\varphi (1))^{n}=\varphi (n)=\varphi (0)=1\,

ist ${}\zeta$ eine ${}n$ -te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder ${}n$ -ten Einheitswurzel ${}\zeta$ durch die Zuordnung ${}1\mapsto \zeta$ nachLemma 4.4undSatz 5.10einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Z} /(n)$ nach ${}K^{\times }$ definieren. Die Menge der ${}n$ -ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}n$ . Also gibt es ${}n$ solche Homomorphismen. Wenn ${}\zeta$ eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch ${}1\mapsto \zeta$ festgelegte Homomorphismus die Ordnung ${}n$ und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$ .

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Satz

Es sei ${}K$ einKörper, ${}D$ eineendliche kommutative Gruppeund ${}K\subseteq L$ eine ${}D$ -graduierte Körpererweiterung. Der Körper ${}K$ enthalte eine ${}m$ -teprimitive Einheitswurzel,wobei ${}m$ derExponentvon ${}D$ sei.

Dann ist ${}K\subseteq L$ eineGaloiserweiterungmitGaloisgruppe ${}D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)$ .

Beweis

Die Voraussetzung über die primitiven Einheitswurzeln in Verbindung mitLemma 14.10und Lemma 12.10 (2)sichern

{}{\#\left(D^{\vee }\right)}={\#\left(D\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,.

NachLemma 12.15ist

{}{\#\left(D^{\vee }\right)}\leq {\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\,.

Also ist

{}\operatorname {grad} _{K}L\leq {\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\,,

und somit haben wir nachSatz 14.7hier Gleichheit, also liegt eineGaloiserweiterungvor. Damit ist auch der nachLemma 12.15injektive Gruppenhomomorphismus

D^{\vee }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K)

bijektiv.

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Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}K$ einKörper,der eine ${}n$ -teprimitive Einheitswurzelenthält. Es sei ${}a\in K$ derart, dass das Polynom ${}X^{n}-a$ irreduzibelsei. Dann ist

{}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{n}-a\right)}\,

eine nachBeispiel 9.5 ${}D=\mathbb {Z} /(n)$ -graduierte Körpererweiterung,und nachSatz 14.11handelt es sich um eineGaloiserweiterungmit Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=D^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$ .Dabei ist ${}L$ auch derZerfällungskörpervon ${}X^{n}-a$ . Wenn ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichnet, so sind die ${}n$ verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich

\zeta x{\text{ mit }}\zeta \in \mu _{n}(K)={\left\{z\in K\mid z^{n}=1\right\}},

die allesamt homogene Elementeder Stufe ${}1\in D$ sind. Ein Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ bzw. der zugehörige Automorphismus ${}\varphi _{\chi }$ operiert gemäßLemma 14.2auf dieser Nullstellenmenge ${}M$ (die nichtkanonisch isomorph zu $\mu _{n}(K)$ ist)durch

\varphi _{\chi }\colon M\longrightarrow M,\,\zeta x\longmapsto \chi (1)\zeta x.

Die graduierende Gruppe ${}D$ , sein Charakterdual ${}D^{\vee }$ , die Gruppe der ${}n$ -ten Einheitswurzeln ${}\mu _{n}(K)$ , die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und die Nullstellenmenge ${}M$ bestehen aus ${}n$ Elementen, die Permutationsgruppe von ${}M$ besteht somit aus ${}n!$ Elementen. Zu je zwei Nullstellen ${}x_{1}=\zeta _{1}x$ und ${}x_{2}=\zeta _{2}x$ gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation ${}x_{1}$ in ${}x_{2}$ überführt, nämlich derjenige Charakter ${}\chi$ mit ${}\chi (1)=\zeta _{2}\zeta _{1}^{-1}$ .

Bei ${}K=\mathbb {Q}$ und ${}L=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+1\right)}$ sind ${}M=\{{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen ${}2!=2$ rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her.

Bei ${}K=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ und ${}X^{4}-3\in K[X]$ ist ${}L=K[X]/{\left(X^{4}-3\right)}$ eine ${}\mathbb {Z} /(4)$ -graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind ${}{\sqrt[{4}]{3}},\,-{\sqrt[{4}]{3}},\,{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ und ${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ . Die Irreduzibilität von ${}X^{4}-3$ ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu ${}K[X]$ gehört. Jeder Charakter ${}\chi$ ist durch ${}\chi (1)$ bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit ${}\chi (1)$ . Bei ${}\chi (1)=-1$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\sqrt[{4}]{3}},\,{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ , bei ${}\chi (1)={\mathrm {i} }$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ und bei ${}\chi (1)=-{\mathrm {i} }$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ . Unter den ${}24$ Permutationen rühren also nur ${}4$ von einem Charakter her, eine Permutation wie ${}{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow {\sqrt[{4}]{3}}$ , ${}-{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\sqrt[{4}]{3}}$ , und ${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ z.B. nicht.