Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 17

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahlund sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineKörpererweiterungvomGrad${\displaystyle {}p}$. Zeige, dass die Galoisgruppevon ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$ entweder genau eine oder genau zwei Untergruppen besitzt. Wie viele Zwischenkörper besitzt die Körpererweiterung, wann ist die Erweiterung galoissch?

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Körpererweiterungmit Galoisgruppe${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$. Zeige, dass die Zuordnung

${\displaystyle H\longmapsto \operatorname {Fix} \,(H),}$

die einer Untergruppe ihren Fixkörper zuordnet, stets injektiv ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}}$ für ${\displaystyle {}n=4,6,8,12}$. Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineGaloiserweiterungmitGaloisgruppe

${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\cong {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{n}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahlsei. Bestimme die Untergruppen der Galoisgruppen und skizziere ein Inklusionsdiagramm für die Untergruppen, die Zwischenkörper und die Potenzmenge von ${\displaystyle {}\{1,\ldots ,n\}}$.

Bestimme die Nullstellen von ${\displaystyle {}X^{6}+108}$ inBeispiel 17.9und beschreibe, wie die Automorphismenauf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sindkonjugiert?

Bestimme die ZwischenkörperinBeispiel 17.9.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche Galoiserweiterung mitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$ und es seien ${\displaystyle {}H_{1},H_{2}\subseteq G}$ Untergruppenmit den zugehörigen Fixkörpern${\displaystyle {}K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})}$ und ${\displaystyle {}K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})}$.Zeige, dass derDurchschnitt${\displaystyle {}K_{1}\cap K_{2}}$ gleich dem Fixkörper zu ${\displaystyle {}H}$ ist, wobei ${\displaystyle {}H}$ die von${\displaystyle {}H_{1}}$ und ${\displaystyle {}H_{2}}$erzeugte Untergruppebezeichnet(das ist die kleinste Untergruppe von ${\displaystyle {}G}$, die sowohl ${\displaystyle {}H_{1}}$ als auch ${\displaystyle {}H_{2}}$ enthält).

Es sei ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ ein endlicher Körper. Beschreibe denFrobeniushomomorphismusals Abbildung von${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(q-1)}$in sich selbst. Woran erkennt man nach dieser Übersetzung die Bijektivität des Frobenius? Wie sehen die Iterationen aus? Wie kann man die Fixelemente zu einer solchen Iteration als Kern beschreiben?

Wir betrachten denKörper${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{9}}$ mit ${\displaystyle {}9}$ Elementen. Für welche Untergruppen${\displaystyle {}H\subseteq {\mathbb {F} }_{9}^{\times }}$ist ${\displaystyle {}H\cup \{0\}}$ ein Körper, für welche nicht?

EineGruppeheißt einfach, wenn sie genau zweiNormalteilerenthält(nämlich sich selbst und die triviale Gruppe).

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineGaloiserweiterungderart, dass dieGaloisgruppeeinfachsei. Zeige, dass ein Zwischenkörper${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$,nur dann galoissch über ${\displaystyle {}K}$ ist, wenn er gleich ${\displaystyle {}K}$ oder ${\displaystyle {}L}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine einfache,nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ eineUntergruppebesitzt, die keinNormalteiler ist.

Es seien${\displaystyle {}K\subseteq L}$und${\displaystyle {}R\subseteq S}$Galoiserweiterungenderart, dass ihreGaloisgruppen${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ und ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(S{|}R)}$isomorphsind. Stifte eine inklusionserhaltende Bijektion zwischen den Zwischenkörper der ersten und den Zwischenkörpern der zweiten Erweiterung.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendlicheGaloiserweiterung und sei${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}K\subseteq M\subseteq L}$,ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Für alle ${\displaystyle {}\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ ist ${\displaystyle {}\psi (M)=M}$.
2. Die Untergruppe ${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ ist nur zu sich selbst konjugiert.

Zeige, dass ${\displaystyle {}X^{4}-5\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }][X]}$ irreduzibelist. Zeige, dass dieKörpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }][X]/{\left(X^{4}-5\right)}\,}$

galoisschist, bestimme die Galoisgruppeund sämtliche Zwischenkörper.

Es sei ${\displaystyle {}S_{3}}$ die Gruppeder bijektiven Abbildungen auf einer dreielementigen Menge. Bestimme dieUntergruppenvon ${\displaystyle {}S_{3}}$ und welche zueinanderkonjugiertsind. Welche Untergruppen sind Normalteiler? Man gebe eineGaloiserweiterungmit Galoisgruppe ${\displaystyle {}S_{3}}$ an und bestimme die zu den Untergruppen gehörenden Zwischenkörper.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine zyklische Gruppe.Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ genau danneinfach ist, wenn ${\displaystyle {}G}$ endlichund ihreOrdnungeinePrimzahlist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ einirreduziblesseparables Polynom.Es sei vorausgesetzt, dass dieGaloisgruppe desZerfällungskörpers ${\displaystyle {}L}$ von ${\displaystyle {}F}$ kommutativ sei. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}L\cong K[X]/(F)}$ ist.