Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 17

Es sei${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}}$mit${\displaystyle {}q=p^{n}}$ eine Körpererweiterung endlicher Körper. NachSatz 16.9ist dies eineGaloiserweiterungmit zyklischer Galoisgruppeder Ordnung ${\displaystyle {}n}$, die vom Frobeniushomomorphismus${\displaystyle {}\Phi }$ erzeugt wird. Die Galoisgruppe ist also isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$. Die Untergruppen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ sind von der Form

${\displaystyle {}H=\langle m\rangle =\{0,m,2m,\ldots ,(k-1)m\}\,}$

mit einem Teiler ${\displaystyle {}m}$ von ${\displaystyle {}n}$, wobei${\displaystyle {}k={\frac {n}{m}}}$dieOrdnungder Untergruppe ist. Der zugehörige Fixkörper ist der Fixkörper zu ${\displaystyle {}\Phi ^{m}}$, der nachKorollar 16.10isomorph zu ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{m}}}$ ist, und ${\displaystyle {}H}$ ist die Galoisgruppe von${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{m}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}}$.

Zu jeder Untergruppe${\displaystyle {}H=\langle m\rangle }$gibt es die Restklassenabbildung

${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow (\mathbb {Z} /(n))/H\cong \mathbb {Z} /({m}).}$

GemäßSatz 17.5ist die Restklassengruppe dabei die Galoisgruppe von${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{m}}}$,und der Frobenius ${\displaystyle {}\Phi }$ von ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{n}}}$ wird dabei auf den Frobenius von ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p^{m}}}$ eingeschränkt.

Insbesondere hängen die Anzahl und die Inklusionsbeziehungen der Zwischenkörper von${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{n}}}$nur von ${\displaystyle {}n}$ und nicht von der Primzahl ab.

Wir knüpfen anBeispiel 12.8an. Aufgrund vonSatz 14.11liegt eineGaloiserweiterungvor. Die graduierende Gruppe ist${\displaystyle {}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$.Neben der trivialen Untergruppeund ${\displaystyle {}D}$ selbst gibt es noch die drei Untergruppen ${\displaystyle {}\{(0,0),(1,0)\},\,\{(0,0),(0,1)\},\,\{(0,0),(1,1)\}}$, die den Zwischenkörpern

${\displaystyle \mathbb {Q} ,\,\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {3}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {6}}),\,L}$

entsprechen. WegenProposition 17.7gibt es keine weiteren Zwischenkörper. Die Galoisgruppeist${\displaystyle {}G=D^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)}$nachSatz 14.11.Zur Untergruppe${\displaystyle {}E=\{(0,0),(1,0)\}\subseteq D}$gehört dabei ${\displaystyle {}E^{\perp }}$(das der Galoisgruppe ${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(L_{E}{|}\mathbb {Q} )}$ entspricht),das aus dem konstanten Charakter und der Abbildung

${\displaystyle \chi \colon D\longrightarrow \mathbb {Q} ^{\times }}$

besteht, die ${\displaystyle {}E}$ auf ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}D\setminus E}$ auf ${\displaystyle {}-1}$ abbildet. Dazu gehört wiederum der durch

${\displaystyle 1\longmapsto 1,\,{\sqrt {2}}\longmapsto {\sqrt {2}},\,{\sqrt {3}}\longmapsto -{\sqrt {3}},\,{\sqrt {6}}\longmapsto -{\sqrt {6}}}$

festgelegte ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Automorphismus ${\displaystyle {}\varphi }$.

Wir betrachten die ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(6)}$-graduierte Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt {-3}}]=\mathbb {Q} [{\sqrt[{6}]{-108}}]=\mathbb {Q} [X]/(X^{6}+108)\,.}$

Die Graduierung ist durch${\displaystyle {}L_{i}=\mathbb {Q} \cdot x^{i}}$mit${\displaystyle {}x={\sqrt[{6}]{-108}}={\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\sqrt {-3}}}$gegeben. Es ist${\displaystyle {}{\sqrt {-3}}=-{\frac {1}{6}}x^{3}}$und${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}={\frac {1}{18}}x^{4}}$.Da es in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ keine primitive dritte Einheitswurzel gibt, ist${\displaystyle {}\operatorname {Char} \,(\mathbb {Z} /(6),\mathbb {Q} ^{\times })\cong \mathbb {Z} /(2)}$und daher gibt es nur zweihomogene Automorphismen(somit ist dies auch keineKummererweiterung.^[1]).Dennoch handelt es sich um eineGaloiserweiterung.Zunächst gehört

${\displaystyle {}\zeta _{3}={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}={\frac {-6-x^{3}}{12}}\,}$

zu ${\displaystyle {}L}$ und es ist${\displaystyle {}\mathbb {Q} (\zeta _{3})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})=L_{0}\oplus L_{3}}$.Ein weiterer(mit der Graduierung verträglicher)Zwischenkörper ist${\displaystyle {}\mathbb {Q} {\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}=L_{0}\oplus L_{2}\oplus L_{4}}$.Die durch ${\displaystyle {}x^{i}\mapsto (-1)^{i}x^{i}}$ gegebene Abbildung ist ein homogener Automorphismus${\displaystyle {}\varphi }$ mit${\displaystyle {}\varphi ^{2}=\operatorname {Id} }$.Aber auch die Zuordnung ${\displaystyle {}x^{i}\mapsto (\zeta _{3})^{i}x^{i}}$ definiert einen (nicht-homogenen)Automorphismus ${\displaystyle {}\psi }$ mit${\displaystyle {}\psi ^{3}=\operatorname {Id} }$.Es gibt also insgesamt ${\displaystyle {}6}$ Automorphismen und daher liegt eine Galoiserweiterung vor. Dabei ist

${\displaystyle {}(\varphi \circ \psi )(x)=\varphi (\psi (x))=\varphi {\left(\zeta _{3}x\right)}=\varphi {\left({\frac {-6x-x^{4}}{12}}\right)}={\frac {6x-x^{4}}{12}}\,}$

und

${\displaystyle {}(\psi \circ \varphi )(x)=\psi (\varphi (x))=\psi (-x)=-\psi (x)=-{\frac {-6x-x^{4}}{12}}={\frac {6x+x^{4}}{12}}\,.}$

Daher ist die Galoisgruppe nicht kommutativ, und es muss${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )=S_{3}}$sein. Der Körper ${\displaystyle {}\psi {\left(\mathbb {Q} {\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}\right)}}$ ist ein nichthomogener Zwischenkörper.