Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 8

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen${\displaystyle {}c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}}$.Damit gilt

${\displaystyle {}c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.}$

Wir schreiben${\displaystyle {}c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})}$und ${\displaystyle {}b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})}$.Wegender ${\displaystyle {}K}$-Linearität der Spurgilt

${\displaystyle {}c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.}$

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen${\displaystyle {}C={\left(c_{ik}\right)}}$, ${\displaystyle {}B={\left(b_{jm}\right)}}$und${\displaystyle {}T={\left(t_{ij}\right)}}$als

${\displaystyle {}C=T^{\rm {transp}}BT\,}$

und die Behauptung folgt dann aus dem DeterminantenmultiplikationssatzundSatz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).

Zunächst sind wegenKorollar 7.11die Spuren zu Elementen aus ${\displaystyle {}R}$ ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.

Es sei${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich ${\displaystyle {}f}$ als eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Linearkombination${\displaystyle {}f=k_{1}b_{1}+\cdots +k_{n}b_{n}}$mit${\displaystyle {}k_{i}\in \mathbb {Z} }$schreiben lässt, wenn die${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}}$eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung

${\displaystyle {}f=q_{1}b_{1}+\cdots +q_{n}b_{n}\,}$

mit rationalen Zahlen${\displaystyle {}q_{i}\in \mathbb {Q} }$.Es sei angenommen, dass ein ${\displaystyle {}q_{i}}$ nicht ganzzahlig ist, wobei wir${\displaystyle {}i=1}$annehmen dürfen. Wir schreiben dann ${\displaystyle {}q_{1}=k+\delta }$mit${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} }$und einer rationalen Zahl ${\displaystyle {}\delta }$(echt)zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$. Dann ist auch

${\displaystyle c_{1}=f-kb_{1}=\delta b_{1}+\sum _{i=2}^{n}q_{i}b_{i},\,b_{2},\ldots ,b_{n}}$

eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$, die in ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist

${\displaystyle {}T={\begin{pmatrix}\delta &q_{2}&q_{3}&\cdots &q_{n}\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\,.}$

Nach Lemma 8.2gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung

${\displaystyle {}\triangle (c_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=(\det(T))^{2}\triangle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\,.}$

Wegen${\displaystyle {}(\det(T))^{2}=\delta ^{2}<1}$und da die Diskriminanten nach Lemma 8.3nicht ${\displaystyle {}0}$ sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.

Nach Lemma 7.7gibt es überhaupt Elemente${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}\in {\mathfrak {a}}}$, die eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$ bilden. Daher gibt es auch solche Basen, wo der(ganzzahlige)Betrag der Diskriminante minimal ist. Für diese gilt nach Satz 8.4,dass sie ein ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ bilden. Die lineare Unabhängigkeitüber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ sichert die Eindeutigkeit der Koeffizienten.

Dies folgt direkt aus Korollar 8.5,angewendet auf das Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=R}$.

Nach Korollar 8.6ist${\displaystyle {}R\cong \mathbb {Z} ^{n}}$(als abelsche Gruppen),wobei die Standardbasis der Ganzheitsbasis ${\displaystyle {}a_{1},\ldots ,a_{n}}$ entsprechen möge. Das von ${\displaystyle {}m}$ in ${\displaystyle {}R}$ erzeugte Ideal besteht aus allen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Linearkombinationen der ${\displaystyle {}ma_{1},\ldots ,ma_{n}}$ und somit entspricht das Ideal(unter dieser Identifizierung)der von ${\displaystyle {}(m,0,\ldots ,0),(0,m,0,\ldots ,0),\ldots ,(0,\ldots ,0,m)}$ erzeugten Untergruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{n}}$. Die Restklassengruppe ${\displaystyle {}R/(m)}$ ist demnach gleich ${\displaystyle {}(\mathbb {Z} /(m))^{n}}$ und besitzt ${\displaystyle {}m^{n}}$ Elemente. Aufgrund der Ganzheit ist nachAufgabe 6.22${\displaystyle {}mR\cap \mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$und aufgrunddes Homomorphiesatzeshat man einen injektiven Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)\longrightarrow R/(m),}$

so dass ${\displaystyle {}R/(m)}$ eine von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(m)}$-Algebra ist.

Für eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$ ist ${\displaystyle {}R/(p)}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Deshalb gibt es darin(mindestens)ein maximales Ideal, und dieses entspricht nach Aufgabe 3.16einem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ in ${\displaystyle {}R}$ mit${\displaystyle {}p\in {\mathfrak {m}}}$.Daher ist${\displaystyle {}(p)=(p)R\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {m}}\cap \mathbb {Z} }$,und dieser Durchschnitt ist ein Primideal, also gleich ${\displaystyle {}(p)}$.

NachLemma 7.14ist die Spur eines Elementes${\displaystyle {}z\in L}$gleich der Summe ${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(z)}$. Für ein Produkt ${\displaystyle {}wz}$ ist somit

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(wz\right)}=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(wz)=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(w)\tau _{j}(z)\,.}$

Insbesondere ist

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}=\sum _{j=1}^{n}\tau _{j}(b_{i})\tau _{j}(b_{k})\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}{\left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}\right)}_{1\leq i,k\leq n}={{\left(\tau _{j}(b_{i})\right)}^{\text{tr}}}{\left(\tau _{j}(b_{k})\right)}\,}$

und dahernach Satz 17.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})&=\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{k}\right)}\right)\\&={\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}^{2}.\end{aligned}}}$

NachLemma 8.9ist die Diskriminante das Quadrat der Determinante der komplexen Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau _{1}(b)&\tau _{1}(b)^{2}&\ldots &\tau _{1}(b)^{n-1}\\1&\tau _{2}(b)&\tau _{2}(b)^{2}&\ldots &\tau _{2}(b)^{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&\tau _{n-1}(b)&\tau _{n-1}(b)^{2}&\ldots &\tau _{n-1}(b)^{n-1}\\1&\tau _{n}(b)&\tau _{n}(b)^{2}&\ldots &\tau _{n}(b)^{n-1}\end{pmatrix}}.}$

Dies ist eineVandermonde-Matrixund ihre Determinante ist gleich

${\displaystyle \prod _{i<j}(\tau _{i}(b)-\tau _{j}(b)).}$