Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 7

Nach Lemma 6.16ist ${\displaystyle {}L}$ der Quotientenkörper des Ganzheitsrings ${\displaystyle {}R}$. Ist${\displaystyle {}q\in Q(R)=L}$ganz über ${\displaystyle {}R}$, so ist ${\displaystyle {}q}$ nachAufgabe 6.24auch ganz über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und gehört selbst zu ${\displaystyle {}R}$.

Das Minimalpolynom ${\displaystyle {}P}$ von ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom mit Koeffizienten aus ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Wenn die Koeffizienten sogar ganzzahlig sind, so liegt direkt eine Ganzheitsgleichungfür ${\displaystyle {}f}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ vor.

Es sei umgekehrt ${\displaystyle {}f}$ ganz über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$, und sei${\displaystyle {}S\in \mathbb {Z} [X]}$ein normiertes ganzzahliges Polynom mit${\displaystyle {}S(f)=0}$,das wir als irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ annehmen dürfen. Wir betrachten${\displaystyle {}S\in \mathbb {Q} [X]}$.Dort gilt

${\displaystyle {}S=PT\,.}$

Da nachdem Lemma von Gaußein irreduzibles Polynom von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ auch in ${\displaystyle {}{\mathbb {Q} }[X]}$ irreduzibel ist, folgt ${\displaystyle {}S=P}$und daher sind alle Koeffizienten von ${\displaystyle {}P}$ ganzzahlig.

Sei${\displaystyle {}0\neq f\in {\mathfrak {a}}}$.Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganzüber ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

${\displaystyle {}f^{n}+k_{n-1}f^{n-1}+k_{n-2}f^{n-2}+\cdots +k_{1}f+k_{0}=0\,}$

mit ganzen Zahlen ${\displaystyle {}k_{i}}$. Bei${\displaystyle {}k_{0}=0}$kann man die Gleichung mit ${\displaystyle {}f}$ kürzen, da${\displaystyle {}f\neq 0}$ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ${\displaystyle {}0}$ ist. Es sei also in obiger Gleichung${\displaystyle {}k_{0}\neq 0}$.Dann ist

${\displaystyle {}f{\left(f^{n-1}+k_{n-1}f^{n-2}+k_{n-2}f^{n-3}+\cdots +k_{1}\right)}=-k_{0}\,}$

und somit ist${\displaystyle {}k_{0}\in (f)\cap \mathbb {Z} \subseteq {\mathfrak {a}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$. Das Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ enthält nach Lemma 7.6ein Element${\displaystyle {}0\neq m\in {\mathfrak {a}}\cap \mathbb {Z} }$.Nach(dem Beweis von) Lemma 6.16kann man${\displaystyle {}v_{i}={\frac {r_{i}}{n_{i}}}}$ mit${\displaystyle {}r_{i}\in R}$und${\displaystyle {}n_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$schreiben. Dann sind die${\displaystyle {}m(n_{i}v_{i})\in {\mathfrak {a}}}$und sie bilden ebenfalls eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$.

Die Zuordnung

${\displaystyle L\longrightarrow \operatorname {End} (L),\,f\longmapsto \mu _{f},}$

ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Es sei ${\displaystyle {}\chi _{}}$ dascharakteristische Polynomvon ${\displaystyle {}\mu _{f}}$. NachCayley-Hamiltonist

${\displaystyle {}\chi _{}(\mu _{f})=0\,}$

im Endomorphismenring. Damit ist auch

${\displaystyle {}\chi _{}(f)=0\,}$

in ${\displaystyle {}K[X]}$. NachSatz 2.12ist somit das Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen Polynoms. Bei${\displaystyle {}L=K[f]}$besitzt das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom den gleichen Grad, also stimmen sie überein.

Eine Verfeinerung der Argumentation zuLemma 7.10zeigt, dass das charakteristische Polynom zu ${\displaystyle {}f}$ eine Potenz des Minimalpolynoms zu ${\displaystyle {}f}$ ist. Da nachSatz 7.5die Koeffizienten des Minimalpolynoms ganzzahlig sind, überträgt sich dies auf das charakteristische Polynom. Spur und Norm treten aber nachAufgabe 7.19undAufgabe 7.20als Koeffizienten des charakteristischen Polynoms auf.

Nach dem Satz vom primitiven Elementwird ${\displaystyle {}L}$ durch ein Element erzeugt, es ist also

${\displaystyle {}L=\mathbb {Q} (x)\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\,}$

mit einem irreduziblen Polynom${\displaystyle {}F\in \mathbb {Q} [X]}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$. Da ${\displaystyle {}F}$ irreduzibel ist und da die Ableitung${\displaystyle {}F'\neq 0}$ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$teilerfremdsind. Nach Satz 2.12ergibt sich, dass${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$das Einheitsidealerzeugen, also${\displaystyle {}AF+BF'=1}$ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$, wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass ${\displaystyle {}F}$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau ${\displaystyle {}n}$ verschiedene komplexe Zahlen ${\displaystyle {}z_{1},\ldots ,z_{n}}$ als Nullstellen besitzt. Jedes ${\displaystyle {}z_{i}}$ definiert nun einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle \rho _{i}\colon L\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto z_{i}.}$

Da ${\displaystyle {}L}$ ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei ${\displaystyle {}X}$ auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen ${\displaystyle {}n}$ verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen${\displaystyle {}L\rightarrow {\mathbb {C} }}$ geben, da jeder solche durch ${\displaystyle {}X\mapsto z}$ gegeben ist und${\displaystyle {}F(z)=0}$sein muss.

Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$der von ${\displaystyle {}z}$ erzeugte Unterkörper von ${\displaystyle {}L}$. Es ist dann

${\displaystyle {}K\cong \mathbb {Q} [X]/(G)\,}$

mit dem(normierten)Minimalpolynom ${\displaystyle {}G}$ von ${\displaystyle {}z}$ und ${\displaystyle {}K}$(bzw. ${\displaystyle {}G}$)haben den Grad ${\displaystyle {}m}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. GemäßSatz 7.12gibt es ${\displaystyle {}m}$ Einbettungen${\displaystyle {}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }}$, die den komplexen Nullstellen ${\displaystyle {}M'}$ von ${\displaystyle {}G}$ entsprechen, und daher ist

${\displaystyle {}G=\prod _{\sigma }(X-\sigma (z))\,.}$

Die ${\displaystyle {}n}$ Einbettungen${\displaystyle {}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }}$ induzieren jeweils eine Einbettung${\displaystyle {}\sigma _{i}=\rho _{i}{|}_{K}\colon K\rightarrow {\mathbb {C} }}$ und somit ist${\displaystyle {}\rho _{i}(z)=\sigma _{i}(z)}$,also${\displaystyle {}M\subseteq M'}$.Andererseits lässt sich eine Einbettung ${\displaystyle {}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }}$zu einer Einbettung ${\displaystyle {}L\rightarrow {\mathbb {C} }}$fortsetzen, da ${\displaystyle {}L}$ über ${\displaystyle {}K}$ separabelist und nach dem Satz vom primitiven Elementvon einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ zerfällt. Daher ist auch ${\displaystyle {}M'\subseteq M}$.

Es sei zunächst${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [z]}$vom Grad ${\displaystyle {}k}$. NachLemma 7.10ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom und nachLemma 7.13ist das Minimalpolynom gleich ${\displaystyle {}(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})}$. Der Vergleich des konstanten Koeffizienten und des Koeffizienten zu ${\displaystyle {}X^{k-1}}$ ergibt die Behauptung.

Im Allgemeinen sei

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K=\mathbb {Q} [z]\subseteq L\,}$

und es sei ${\displaystyle {}M}$ die Matrix über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$, die die Multiplikation mit ${\displaystyle {}z}$ auf ${\displaystyle {}K}$ bezüglich einer ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis${\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{k}}$ beschreibt. Zu einer ${\displaystyle {}K}$-Basis ${\displaystyle {}z_{1},\ldots ,z_{\ell }}$ von ${\displaystyle {}L}$ ist ${\displaystyle {}y_{i}z_{j}}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}L}$, und die Multiplikation mit ${\displaystyle {}z}$ auf ${\displaystyle {}L}$ wird durch die Blockmatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}M&0&\ldots &0\\0&M&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&M\end{pmatrix}}}$

beschrieben. Deren Spur ist das ${\displaystyle {}\ell }$-Fache der Spur von ${\displaystyle {}M}$ und deren Determinante ist die ${\displaystyle {}\ell }$-te Potenz der Determinante von ${\displaystyle {}M}$. Ebenso treten die verschiedenen komplexen Zahlen ${\displaystyle {}z_{i}}$ jeweils ${\displaystyle {}\ell }$-fach auf.