Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 8

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereichund sei ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$ eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Basis von ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass dann der Betrag der Diskriminante

${\displaystyle {|}\triangle (f_{1},\ldots ,f_{n}){|}}$

minimal ist unter allen Diskriminanten von linear unabhängigen ${\displaystyle {}n}$-Tupeln aus ${\displaystyle {}R}$.

Berechne die Diskriminanteder Gaußschen Zahlen.Man gebe zwei wesentlich verschiedene ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Basen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ an und überprüfe, dass die Diskriminanten übereinstimmen.

Berechne dieDiskriminantezur Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,}$

zur Basis${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$und zur Basis${\displaystyle {}2-5{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}4+7{\mathrm {i} }}$.

Bestimme dieDiskriminantezur Basis ${\displaystyle {}1,x,x^{2}}$ der kubischen Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5X^{2}+6X-3\right)}=:L\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperder Charakteristik${\displaystyle {}0}$ und sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eineendliche KörpererweiterungvomGrad${\displaystyle {}n}$ und sei ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ eine${\displaystyle {}K}$-Basisvon ${\displaystyle {}L}$. Zeige, dass dann

${\displaystyle {}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichder Form${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/(F)}$mit einem normierten Polynom${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} [X]}$vom Grad ${\displaystyle {}d}$. Zeige, dass${\displaystyle {}x^{i}}$, ${\displaystyle {}i=0,\ldots ,n-1}$,eineGanzheitsbasisvon ${\displaystyle {}R}$ ist.

Finde ganze Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c,d,e,f}$ derart, dass die DeterminantederMatrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6&10&15\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}}$

gleich ${\displaystyle {}1}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ einteilerfremdesTupel von ganzen Zahlen. Zeige, dass es eine${\displaystyle {}n\times n}$-Matrixgibt, die das Tupel als eine Zeile enthält und deren Determinantegleich ${\displaystyle {}\pm 1}$ ist.

Zeige, dass es in einemZahlbereichstetsGanzheitsbasengibt, die die ${\displaystyle {}1}$ enthalten.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(F)}$eine endliche Körpererweiterungmit einem normierten Polynom${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} [X]}$und sei ${\displaystyle {}R}$ der zugehörige Zahlbereich.Zeige, dass es ein${\displaystyle {}g\in \mathbb {N} _{+}}$derart gibt, dass nach Nenneraufnahmean ${\displaystyle {}g}$ eine Ringisomorphie

${\displaystyle {}R_{g}=\mathbb {Z} _{g}[X]/(F)\,}$

vorliegt.

Man gebe Beispiele für Zahlbereiche${\displaystyle {}R}$, wo dieSpur${\displaystyle {}R\rightarrow \mathbb {Z} }$surjektivbzw. nicht surjektiv ist.

Finde möglichst viele (nicht isomorphe) kommutative Ringe mit vier Elementen. Beweise, dass die Liste vollständig ist.

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit ${\displaystyle {}6}$ Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahlund${\displaystyle {}q=p^{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq 2}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{n})}$ keinVektorraumüber ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ sein kann.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein endlicher reduzierterkommutativer Ring.Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ ein Produkt von endlichen Körpern ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahlund sei ${\displaystyle {}R}$ eine endlichdimensionale${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Algebrader Dimension ${\displaystyle {}n}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ höchstens ${\displaystyle {}n}$ Primidealebesitzt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich und sei ${\displaystyle {}f\in R}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}N(f)\in (f)}$ ist, dass also die Norm zum von ${\displaystyle {}f}$ erzeugten Hauptideal gehört. Zeige durch ein Beispiel, dass dies für die Spur nicht gelten muss.