Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 28

Der Dirichletsche Einheitensatz

Es sei ${}R$ derGanzheitsringzur endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ .InSatz 25.2haben wir gesehen, dass das Bild der reellen Gesamteinbettung

{}\tau ^{\mathbb {R} }(R)=\Gamma _{R}\subset \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\,

ein Gitterin ${}\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}$ ist, wobei ${}r$ die Anzahl der reellen Einbettungen und ${}s$ die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Zu jedem von ${}0$ verschiedenen Element ${}f\in R$ ist ${}\tau ^{\mathbb {R} }(f)$ in jeder reellen Komponente und in jeder komplexen Komponente von ${}0$ verschieden(Real- oder Imaginärteil kann aber ${}0$ sein).Um die Einheitengruppe von ${}R$ zu verstehen, betrachten wir die Abbildung

{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\longmapsto (\ln \vert {x_{1}}\vert ,\ldots ,\ln \vert {x_{r}}\vert ;\ln \left(\vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\right),\ldots ,\ln \left(\vert {z_{r+s}}\vert ^{2}\right)).

Man beachte, dass man für die komplexen Einbettungen die Werte

{}\ln \vert {z_{j}{\overline {z_{j}}}}\vert =\ln \left(\vert {z_{j}}\vert ^{2}\right)=2\ln \vert {z_{j}}\vert \,

heranzieht. Insgesamt haben wir die Verknüpfung der folgenden Abbildungen

K^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\vert {-}\vert }{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\ln \left(-\right),2\ln \left(-\right)}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{s},

wobei die funktionalen Ausdrücke komponentenweise zu verstehen sind. Da die Einbettungen und der Betrag multiplikativ sind und der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

(K^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{r+s},0,+)

vor. Wir sprechen von der logarithmischen Gesamtabbildung und bezeichnen sie mit ${}L$ . Diese ist insbesondere für die Einheitengruppe ${}R^{\times }\subseteq K^{\times }$ wichtig.

Lemma

Es sei ${}R$ der Ganzheitsringzu einer endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ mit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen.

Dann besitzt dielogarithmische Gesamtabbildung

$L\colon K^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s}$

die folgenden Eigenschaften.

DerKernvon ${}L$ eingeschränkt auf ${}R^{\times }$ ist die Gruppe der Einheitswurzeln ${}\mu _{}{\left(R\right)}$ und insbesondere eine endliche zyklische Gruppe.
Das Bild ${}L(R^{\times })$ liegt in der Hyperebene ${}H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}$ .
Das Bild ${}L(R^{\times })$ ist eine diskrete Untergruppevon ${}H\subset \mathbb {R} ^{r+s}$ .

Beweis

Für ${}L$ liegt die Faktorisierung
$R^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}\Gamma \setminus \{0\}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r+s}$
vor. Ein Element ${}f\in K^{\times }$ wird genau dann unter ${}L$ auf den Nullvektor abgebildet, wenn ${}\tau (f)$ in jeder reellen oder komplexen Komponente den Betrag ${}1$ besitzt. Diese Elemente liegen somit alle in einer beschränktenTeilmenge von ${}\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}$ aber ja auch im Gitter ${}\Gamma$ . Daher ist diese Menge endlich und daher ist wegen der Injektivität von ${}\tau$ auch die zugrunde liegende Menge in ${}R$ endlich. Also haben diese Elemente endlicheOrdnungund sindEinheitswurzeln.Umgekehrt ist ein Torsionselement der Einheitengruppe von ${}R$ in jeder Einbettung ein Torsionselement und hat daher den Betrag ${}1$ , wird also unter ${}L$ auf ${}0$ abgebildet.
Sei ${}f\in R^{\times }$ eine Einheit und sei
$(\rho _{1}(f),\ldots ,\rho _{r}(f);\sigma _{r+1}(f),{\overline {\sigma _{r+1}}}(f),\ldots ,\sigma _{r+s}(f),{\overline {\sigma _{r+s}}}(f)$

das totale komplexe Einbettungstupel. NachLemma 7.14ist die Norm von ${}f$ gleich
${}{\begin{aligned}\rho _{1}(f)\cdots \rho _{r}(f)\sigma _{r+1}(f)\cdot {\overline {\sigma _{r+1}}}(f)\cdots \sigma _{r+s}(f)\cdot {\overline {\sigma _{r+s}}}(f)&=\rho _{1}(f)\cdots \rho _{r}(f)\vert {\sigma _{r+1}(f)}\vert ^{2}\cdots \vert {\sigma _{r+s}(f)}\vert ^{2}\\\end{aligned}}$
NachLemma 10.1ist der Betrag davon gleich ${}1$ . Unter der komponentenweise genommenen Abbildung
$\ln \left(\vert {-}\vert \right)\colon {\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{2s}\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}$
wird dieses Produkt auf die Summe abgebildet, somit gilt
${}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{r}\ln \vert {\rho _{j}(f)}\vert +\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {\sigma _{r+i}(f)}\vert +\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {{\overline {\sigma _{r+i}}}(f)}\vert &=\sum _{j=1}^{r}\ln \vert {\rho _{j}(f)}\vert +2\sum _{i=1}^{s}\ln \vert {\sigma _{r+i}(f)}\vert \\&=0.\end{aligned}}$
Die letzte Gleichung bedeutet gerade, dass ${}L(f)$ auf der Hyperebene ${}H$ liegt.
Es ist zu zeigen, dass das Bild ${}L(R^{\times })$ mit jeder beschränkten Teilmenge von ${}H$ einen endlichen Durchschnitt besitzt. Das Urbild einer beschränkten Teilmenge unter ${}\ell$ ist aber auch beschränkt, und der Durchschnitt mit dem Gitter ${}\Gamma$ ist endlich.

\Box

Die Hyperebene im vorstehenden Lemma hat die reelle Dimension ${}r+s-1$ , und darin ist das Bild eine diskrete Untergruppe. Es wird sich herausstellen, dass das Bild in dieser Hyperebene sogar ein Gitter ist, also von ${}r+s-1$ linear unabhängigen Vektoren erzeugt wird. Wir erläutern die Situation anhand von Beispielen kleinen Grades.

Beispiel

Zuquadratfreiem ${}D<0$ und zugehörigem imaginär-quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}\subseteq {\mathbb {C} }$ (vergleicheBeispiel 25.3)ist dielogarithmische Gesamtabbildungdurch

A_{D}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(a+b{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {D}\vert }})\longmapsto \ln \left(a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert \right),

gegeben. Der minimale Wert von ${}a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert$ ist ${}1$ und das Bild der logarithmischen Abbildung liegt in ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$ . Hieran sieht man erneut, dass es in ${}A_{D}$ nur Einheitswurzeln als Einheiten gibt, vergleicheLemma 27.7.

Beispiel

Zuquadratfreiem ${}D\geq 2$ und zugehörigem reell-quadratischen Zahlbereich ${}A_{D}$ mit der Gitterrealisierung

A_{D}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}a+b{\sqrt {D}}\\a-b{\sqrt {D}}\end{pmatrix}},

(vergleicheBeispiel 25.4)ist dielogarithmische Gesamtabbildungdurch

A_{D}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b{\sqrt {D}}}\vert \\\ln \vert {a-b{\sqrt {D}}}\vert \end{pmatrix}},

gegeben. Diese induziert für die Einheiten den Gruppenhomomorphismus

A_{D}^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,(a+b{\sqrt {D}})\longmapsto {\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b{\sqrt {D}}}\vert \\\ln \vert {a-b{\sqrt {D}}}\vert \end{pmatrix}},

wobei das Bild(wegenLemma 28.1 (2)oder direkt)auf der Gegendiagonalen landet. Somit liegt ein Gruppenhomomorphismus ${}{\left(A_{D}^{\times },\cdot ,1\right)}\rightarrow (\mathbb {R} ,+,0)$ vor. Der Kern besteht aus ${}\{1,-1\}$ und das Bild ist eine diskrete Untergruppe von ${}\mathbb {R}$ . Wir werden gleich sehen, dass das Bild die Form ${}\mathbb {Z} v$ mit ${}v\neq 0$ besitzt.

Beispiel

Wir knüpfen anBeispiel 25.5an, also ${}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ .Unter der logarithmischen Gesamtabbildungwird das Ringelement ${}a+b\alpha +c\alpha ^{2}$ auf

{\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b\alpha +c\alpha ^{2}}\vert \\\ln \vert {a+b(\alpha ^{2}-2)+c(-\alpha ^{2}-\alpha +4)}\vert \\\ln \vert {a+b(-\alpha ^{2}-\alpha +2)+c(\alpha +2)}\vert \end{pmatrix}}

bzw. ${}a+b\alpha +d\beta$ auf

{\begin{pmatrix}\ln \vert {a+b\alpha +d\beta }\vert \\\ln \vert {a+b\beta +d(-\alpha -\beta )}\vert \\\ln \vert {a+b(-\alpha -\beta )+d\alpha }\vert \end{pmatrix}}

abgebildet. Die Einheiten ${}\alpha$ bzw. ${}\beta$ werden auf

{\begin{pmatrix}\ln \vert {\alpha }\vert \\\ln \vert {\beta }\vert \\\ln \vert {-\alpha -\beta }\vert \end{pmatrix}}

bzw.

{\begin{pmatrix}\ln \vert {\beta }\vert \\\ln \vert {-\alpha -\beta }\vert \\\ln \vert {\alpha }\vert \end{pmatrix}}

und diese Vektoren liegen auf der durch ${}x+y+z=0$ definierten Ebene. Die lineare Unabhängigkeit dieser beiden Vektoren kann man über die Determinantezeigen.

Die numerischen Werte der Nullstellen des Polynoms sind ungefähr

\alpha \sim 1,532,\,\,\beta \sim 0,347,\,\,\gamma \sim -1,879.

Die Determinante der oberen ${}2\times 2$ -Untermatrix ist ungefähr

{}{\begin{aligned}\ln \vert {\alpha }\vert \ln \vert {\alpha +\beta }\vert -\ln \left(\vert {\beta }\vert \right)^{2}&\sim 0,426\cdot 0,631-(-1.058)^{2}\\&\sim 0,89\\&\neq 0.\end{aligned}}

Die Bilder der beiden Einheiten ${}\alpha$ und ${}\beta$ sind also linear unabhängig und daher besteht zwischen den Einheiten selbst in ${}R$ keine Beziehung der Form

{}\alpha ^{m}=\beta ^{n}\,

für ${}(m,n)\neq (0,0)$ .

Bemerkung

Zu einem Körperautomorphismus ${}\varphi$ der Ordnung ${}k\neq 1,2$ auf einer endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ mit einer reellen Einbettung ${}K\subseteq \mathbb {R}$ und einem Element ${}\alpha \in K$ mit

{}\varphi (\alpha )\neq \pm \alpha \,

sind ${}\alpha$ und ${}\varphi (\alpha )$ exponentiell unabhängig, d.h. es besteht keine Relation der Form

{}\alpha ^{m}=\varphi (\alpha )^{n}\,

mit ${}(m,n)\neq (0,0)$ .Aus

{}\varphi (\alpha )=\alpha ^{q}\,

mit einem positiven rationalen Exponenten ${}q={\frac {m}{n}}$ folgt ja

{}\alpha =\varphi ^{k}(\alpha )=\alpha ^{q^{k}}\,,

woraus sich wegen der reellen Einbettung ${}q^{k}=1$ ergibt, was ausgeschlossen ist. Daher sind auch die Logarithmen der Beträge von ${}\alpha$ und ${}\varphi (\alpha )$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ . Wenn die Einheitengruppe den Rang ${}1$ besitzt, so muss bei rein reellen Erweiterungen zwischen den Einheiten ${}\alpha$ und ${}\varphi (\alpha )$ bis auf das Vorzeichen eine exponentielle Relation bestehen. Im reell-quadratischen Fall sind in der Tat für eine Einheit ${}a+b{\sqrt {D}}$ wegen

{}(a+b{\sqrt {D}})(a-b{\sqrt {D}})=a^{2}-b^{2}D=\pm 1\,

die beiden zueinander konjugierten Elemente auch bis eventuell auf das Vorzeichen zueinander invers.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereichmit der zugehörigenreellen Gesamteinbettung

\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}

und der Teilmenge

U={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\in \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\mid \vert {x_{1}}\vert \cdots \vert {x_{r}}\vert \cdot \vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\cdots \vert {z_{r+s}}\vert ^{2}=1\right\}}\,.

Dann gibt es eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq U$ mit

${}U=\bigcup _{u\in R^{\times }}T\cdot \tau ^{\mathbb {R} }(u)\,.$

Beweis

Es sei ${}d=r+2s$ der Grad der Körpererweiterung. NachLemma 7.14gehört ${}\tau ^{\mathbb {R} }(u)$ zu einer Einheit ${}u\in R^{\times }$ zu ${}U$ . Ferner ist ${}U$ mit komponentenweiser Multiplikation abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{d}$ . Es seien ${}c_{1},\ldots ,c_{d}$ positive reelle Zahlen mit ${}c_{j}=c_{j+1}$ für die komplex-konjugierten Stellen und mit

{}c:=c_{1}\cdots c_{d}>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\triangle _{K}}\vert }}\,.

Wir betrachten die durch ${}c$ definierte beschränkte Teilmenge

{}A:={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {x_{j}}\vert <c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}\,.

Zu einem Element ${}y=(y_{1},\ldots ,y_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ ohne Nulleintrag ist die mit ${}y$ multiplizierte Menge gleich

{}{\begin{aligned}yA&={\left\{(y_{1}x_{1},\ldots ,y_{d}x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {x_{j}}\vert <c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}\\&={\left\{(z_{1},\ldots ,z_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \vert {z_{j}}\vert <\vert {y_{j}}\vert c_{j}{\text{ alle }}j\right\}}.\end{aligned}}

NachLemma 10.9gibt es in ${}R$ für jede vorgegebene Norm bis auf Assoziiertheit nur endlich viele Elemente mit dieser Norm. Da als Norm nur ganze Zahlen auftreten, gilt dies auch für die Elemente unterhalb einer fixierten Norm. Deshalb gibt es von ${}0$ verschiedene Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ derart, dass jedes Element ${}g\in R$ mit ${}N(g)\leq c$ zu einem der ${}f_{i}$ assoziiert ist.

Wir betrachten nun

{}T:=U\cap {\left(\bigcup _{i=1}^{n}\tau ^{\mathbb {R} }(f_{i}^{-1})A\right)}\,

und behaupten

{}U=\bigcup _{u\in R^{\times }}T\cdot \tau ^{\mathbb {R} }(u)\,,

wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Zum Beweis der anderen Inklusion sei ${}y\in U$ .Wir betrachten ${}y^{-1}A$ . Wegen ${}\vert {y_{1}}\vert \cdots \vert {y_{d}}\vert =1$ gilt, dass das Produkt der Grenzen in ${}y^{-1}A$ wieder gleich ${}c$ ist und damit die eingangs fixierte Bedingung erfüllt. NachKorollar 26.3gibt es ein von ${}0$ verschiedenes ${}f\in R$ mit ${}\tau ^{\mathbb {R} }(f)\in y^{-1}A$ ,sagen wir

{}\tau ^{\mathbb {R} }(f)=y^{-1}x\,

mit ${}x\in A$ .Da die ${}\tau ^{\mathbb {R} }(f)$ komponentenweise durch die ${}c_{j}$ beschränkt sind, ist der Betrag der Norm von ${}f$ durch ${}c$ beschränkt. Daher gibt es ein ${}f_{i}$ aus unserer endlichen Auswahlmenge und eine Einheit ${}u$ mit ${}f=uf_{i}$ .Somit ist

{}y=x\tau ^{\mathbb {R} }(f^{-1})=\tau ^{\mathbb {R} }(f_{i}^{-1})x\tau ^{\mathbb {R} }(u^{-1})\,

und

{}x\tau ^{\mathbb {R} }(u^{-1})\in A\,.

\Box

Der folgende Satz heißt Dirichletscher Einheitensatz.

Satz

Es sei ${}R$ einZahlbereichmit ${}r$ reellen Einbettungen und ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen.

Dann ist

${}R^{\times }=\mathbb {Z} ^{r+s-1}\times \mu \,$

mit einer endlichen zyklischen Gruppe ${}\mu$ .

Beweis

Die logarithmische Gesamtabbildung

L\colon R^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s}

hat nachLemma 28.1denKern

{}\mu =\mu _{}{\left(R\right)}\,

und das Bild ${}L(R^{\times })$ ist eine diskrete Untergruppe von

{}H={\left\{(v_{1},\ldots ,v_{r+s})\mid \sum _{j=1}^{r+s}v_{j}=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{r+s}\,.

Unter der Faktorisierung

R^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{s}

mit ${}\ell =(\ln \vert {-}\vert ,2\ln \vert {-}\vert )$ ist die Menge

U={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\in \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\mid \vert {x_{1}}\vert \cdots \vert {x_{r}}\vert \cdot \vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\cdots \vert {z_{r+s}}\vert ^{2}=1\right\}}\,

ausLemma 28.6das Urbild von ${}H$ . Die Überdeckung

{}U=\bigcup _{u\in R^{\times }}T\cdot \tau ^{\mathbb {R} }(u)\,

mit einer beschränkten Teilmenge ${}T\subseteq U$ ,die es nachLemma 28.6gibt, übersetzt sich zu

{}H=\bigcup _{u\in R^{\times }}\ell (T)+L(u)\,.

Da ${}\ell (T)$ ebenfalls beschränkt ist, folgt aus Aufgabe 28.4,dass die Bildgruppe ${}L(R^{\times })$ ein Gitter in ${}H$ ist.

Es liegt also eine kurze exakte Sequenz

0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mu _{}{\left(R\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L(R^{\times })\cong \mathbb {Z} ^{r+s-1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0

vor. Indem man für die Standardvektoren rechts Urbilder in ${}R^{\times }$ wählt, erhält man auch eine Darstellung

{}R^{\times }\cong \mu _{}{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}\,.

\Box

Definition

Eine Familie von Einheiten ${}u_{1},\ldots ,u_{m}\in R$ in einemZahlbereich ${}R$ heißt ein System vonFundamentaleinheiten, wenn man jede Einheit ${}u$ von ${}R$ in eindeutiger Weise als

{}u=\zeta u_{1}^{n_{1}}\cdots u_{m}^{n_{m}}\,

mit einer Einheitswurzel ${}\zeta$ und ganzzahligen Exponenten ${}n_{j}$ schreiben kann.

Bemerkung

Satz 28.7besagt insbesondere, dass es Systeme von Fundamentaleinheiten gibt, und dass stets

{}m=r+s-1\,

ist, wenn wieder ${}r$ die Anzahl der reellen und ${}s$ die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Bei einer Zerlegung

{}R^{\times }=\mu _{}{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{m}\,

kann man eine Basis von ${}\mathbb {Z} ^{m}$ und insbesondere die Standardbasis als System von Fundamentaleinheiten nehmen. Man beachte, dass weder die Zerlegung noch die dazu äquivalente Auswahl von Fundamentaleinheiten in irgendeiner Form kanonisch ist. Es liegt eine natürliche Untergruppenbeziehung

{}\mu _{}{\left(R\right)}\subseteq R^{\times }\,

vor und damit gibt es auch einen natürlichen Restklassenhomomorphismus

R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)},

und der Satz besagt eben, dass diese Restklassengruppeeine freiekommutative Gruppe vom Rang ${}r+s-1$ ist, also isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{r+s-1}$ , es gibt aber keine natürliche Identifizierung dieser Restklassengruppe mit ${}\mathbb {Z} ^{r+s-1}$ . Aus einer surjektiven Gesamtabbildung

R^{\times }\longrightarrow R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r+s-1}

erhält man eine freie Untergruppe von ${}R^{\times }$ , indem man jedem Element der Standardbasis rechts ein Urbild aus ${}R^{\times }$ zuordnet und von dieser Abbildung das Bild nimmt. Dies führt dann zu einer Zerlegung

{}R^{\times }\cong \mu _{}{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{m}\,.

Korollar

Es sei ${}D$ einequadratfreieZahl und ${}R=A_{D}$ der zugehörigequadratische Zahlbereich.

Wenn ${}D$ positiv ist, so ist die Einheitengruppeisomorph zu ${}\{1,-1\}\times \mathbb {Z}$ .
Wenn ${}D$ negativ ist, so ist die Einheitengruppe endlich.

Beweis

Dies folgt unmittelbar ausSatz 28.7in Verbindung mitLemma 27.3.

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