Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 27

Die Inklusion${\displaystyle {}\mu _{}{\left(R\right)}\subseteq \mu _{}{\left(Q(R)\right)}}$ist klar. Sei${\displaystyle {}q\in \mu _{}{\left(Q(R)\right)}}$,sagen wir${\displaystyle {}q^{n}=1}$.Da ${\displaystyle {}q}$ die Ganzheitsgleichung

${\displaystyle {}X^{n}-1=0\,}$

erfüllt, folgt aus der Normalität direkt, dass${\displaystyle {}q\in R}$gehört.

Dies folgt direkt aus einer Inklusion${\displaystyle {}R\subseteq Q(R)\subseteq \mathbb {R} }$,da es in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nur die beiden Einheitswurzeln${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}-1}$gibt und da Einheitswurzeln unter einem Ringhomomorphismusauf Einheitswurzeln abgebildet werden.

Die eine Richtung ist klar. Für die Rückrichtung sei${\displaystyle {}\zeta \in K}$eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel. Dies definiert einenEinsetzungshomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Q} [X]/(X^{n}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .}$

Somit gibt es nachLemma 19.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))einen induzierten Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{d}\right)}\longrightarrow K}$

mit einem Teiler ${\displaystyle {}d}$ von ${\displaystyle {}n}$. Doch dann gibt es auch einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle \mathbb {Q} [X]/(X^{d}-1)\longrightarrow K,\,X\longmapsto \zeta .}$

Bei${\displaystyle {}d<n}$ist dies ein Widerspruch zur Ordnung von ${\displaystyle {}\zeta }$. Also ist${\displaystyle {}d=n}$und es gibt einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} [X]/{\left(\Phi _{n}\right)}\longrightarrow K.}$

Nach Konstruktion der Kreisteilungskörper ist klar, dass ${\displaystyle {}K_{n}}$ die ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln enthält. Wenn ${\displaystyle {}n}$ ungerade und ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ist, so ist ${\displaystyle {}-\zeta }$ eine primitive ${\displaystyle {}2n}$-te Einheitswurzel und somit sind die Inklusionen ${\displaystyle {}\supseteq }$ klar. Es ist also noch zu zeigen, dass die Kreisteilungskörper keine weiteren Einheitswurzeln enthält. Dazu können wir annehmen, dass ${\displaystyle {}n}$ gerade ist. Es sei ${\displaystyle {}\xi }$ eine zusätzliche Einheitswurzel der Ordnung ${\displaystyle {}m}$. Wir können annehmen, dass ${\displaystyle {}m}$ gerade und ein echtes Vielfaches von ${\displaystyle {}n}$ ist, da die von ${\displaystyle {}\xi }$ und einer primitiven ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzel ${\displaystyle {}\zeta }$ erzeugte Untergruppe wieder endlich und zyklisch und ihre Ordnungein Vielfaches der beiden Ordnungen sein muss. Aus${\displaystyle {}\mu _{m}\subseteq K_{n}}$folgt${\displaystyle {}K_{m}\subseteq K_{n}}$nachLemma 27.4.Es ist${\displaystyle {}m=2^{r}p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}}$und${\displaystyle {}n=2^{s}p_{1}^{s_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}}}$mit${\displaystyle {}r\geq s\geq 1}$und${\displaystyle {}r_{j}\geq s_{j}\geq 1}$.Da ein Exponent echt größer ist, ergibt sich ein Widerspruch zuSatz 17.10.

Wir argumentieren in der endlichen Erweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K=Q(R)}$,die den Grad ${\displaystyle {}d}$ habe. Wir behaupten zunächst, dass die Ordnungenin ${\displaystyle {}\mu _{}{\left(K\right)}}$ beschränkt ist. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist, und sei${\displaystyle {}r_{n}}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,eine streng wachsende (und damit unbeschränkte)Folge von natürlichen Zahlen, die als Ordnungen von Elementen aus ${\displaystyle {}\mu _{}{\left(K\right)}}$ vorkommen. Dann gilt nachLemma 27.4für dieKreisteilungskörper

${\displaystyle {}K_{r_{n}}\subseteq K\,.}$

Für der Grad ${\displaystyle {}d}$ gilt dann unter Verwendung vonSatz 17.10

${\displaystyle {}d\geq \operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K_{r_{n}}={\varphi (r_{n})}\,.}$

Wenn in den Primfaktorzerlegungen der Folgenglieder ${\displaystyle {}r_{n}}$ unendlich viele Primzahlen ${\displaystyle {}p_{m}}$ vorkommen, so ist

${\displaystyle {}d\geq p_{m}-1\,.}$

Wenn hingegen in den Primfaktorzerlegungen nur endlich viele Primzahlen vorkommen, so gibt es darin eine Teilfolge mit Primzahlpotenzen ${\displaystyle {}p^{s_{k}}}$ als Teiler mit ${\displaystyle {}s_{k}\rightarrow \infty }$. In diesem Fall ist${\displaystyle {}d\geq (p-1)p^{s_{k}-1}}$.In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch zur Endlichkeit von ${\displaystyle {}d}$. Die Endlichkeit der Gruppe folgt daher mitKorollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).Die Zyklizität folgt ausSatz 9.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)).

Wegen der expliziten Gestalt der Norm undLemma 10.1ist die Einheitengruppe endlich, stimmt also mit der Einheitswurzelgruppe überein. Es sei ${\displaystyle {}A}$ der quadratische Zahlbereich zur quadratfreien Zahl${\displaystyle {}D\leq -1}$.Bei${\displaystyle {}D=-1}$ist ${\displaystyle {}A}$ der Ring der Gaußschen Zahlen und es gibt die vier Einheiten ${\displaystyle {}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }}$, und es ist ${\displaystyle {}\triangle =-4}$ nachLemma 9.9.Dies ist der einzige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante ${\displaystyle {}-4}$. Bei${\displaystyle {}D=\triangle =-3}$liegt der Ring der Eisensteinzahlen vor, sieheBeispiel 7.4.Er ist zugleich der dritte und der sechste Kreisteilungsring und seine Einheitswurzelgruppe ist nachLemma 27.5gleich ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(6)}$. Es sei also die Diskriminante ${\displaystyle {}\leq -5}$. Die Norm von${\displaystyle {}a+b{\sqrt {D}}\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]}$(mit${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {Q} }$)ist durch ${\displaystyle {}a^{2}+b^{2}\vert {D}\vert }$ gegeben. Wenn das Element zum Ganzheitsring gehört, so sind bei ${\displaystyle {}D=2,3\mod 4}$nachSatz 9.8die Koeffizienten ${\displaystyle {}a,b}$ ganzzahlig und aus${\displaystyle {}\vert {D}\vert \geq 2}$folgt ${\displaystyle {}b=0}$und ausLemma 10.1folgt${\displaystyle {}a=\pm 1}$.Bei ${\displaystyle {}D=1\mod 4}$sind ebenfalls nachSatz 9.8die Koeffizienten ${\displaystyle {}a,b}$ ganzzahlige Vielfache von ${\displaystyle {}1/2}$ und aus${\displaystyle {}\vert {D}\vert \geq 7}$folgt wieder${\displaystyle {}b=0}$und${\displaystyle {}a=\pm 1}$.

Nach Voraussetzung enthält ${\displaystyle {}K}$ die ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln und damit ist ${\displaystyle {}K_{n}\subseteq K}$nachLemma 27.4.Insbesondere ist${\displaystyle {}\mu _{}{\left(K\right)}=\mu _{}{\left(K_{n}\right)}}$.Die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(K_{n}{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} (\mu _{}{\left(K\right)})\cong {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$

ist nachSatz 17.11einIsomorphismus.Wenn ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$galoissch ist, so ist ${\displaystyle {}K}$ nachKorollar 16.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))auch galoissch über ${\displaystyle {}K_{n}}$ und die ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Automorphismen lassen sich wegenKorollar 15.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))nach ${\displaystyle {}K}$ fortsetzen.