Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 28

Zeige, dass zu einer endlichen Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$die Menge

${\displaystyle {\left\{x\in K^{\times }\mid \vert {\tau (x)}\vert =1{\text{ für alle Einbettungen }}\tau \right\}}}$

eine Untergruppeder Einheitengruppe von ${\displaystyle {}K}$ ist, die die Einheitswurzelgruppe${\displaystyle {}\mu _{}{\left(K\right)}}$ umfasst, und dass die Einheitswurzelgruppe im Allgemeinen kleiner ist.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$eineendliche Körpererweiterungmit ausschließlichreellen Einbettungen.Es sei${\displaystyle {}K\subseteq L}$eine quadratische Körpererweiterungund ${\displaystyle {}L}$ besitze keine reelle Einbettung.Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}K^{\times }&{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}&{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}&{\stackrel {\ln \vert {-}\vert }{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{r}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \cdot 2\!\!\!\!\!&&\\L^{\times }&{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}&{\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{r}&{\stackrel {2\ln \vert {-}\vert }{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{r}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

existiert, wobei die Abbildungen rechts komponentenweise zu verstehen sind und wobei die horizontalen Abbildungen die logarithmischen Gesamtabbildungensind.

Skizziere die Situation inLemma 28.6für verschiedeneZahlbereichevon kleinem Grad.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ eineuklidischer Vektorraum,${\displaystyle {}\Delta \subseteq V}$einediskreteUntergruppeund${\displaystyle {}B\subseteq V}$einebeschränkteTeilmenge derart, dass${\displaystyle {}\bigcup _{v\in \Delta }v+B=V}$ist. Zeige, dass ${\displaystyle {}\Delta }$ einGitterist.

Im Folgenden sind die Graphen zu normierten irreduziblen Polynomen ${\displaystyle {}F}$ vom Grad ${\displaystyle {}4}$ mit ganzzahligen Koeffizienten abgebildet. Es sei ${\displaystyle {}R}$ derZahlbereichzur Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K=\mathbb {Q} [X]/(F)}$.Bestimme denRangderEinheitengruppe${\displaystyle {}R^{\times }}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund es seien${\displaystyle {}u,v\in R^{\times }}$Einheitenund ${\displaystyle {}a,b}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene ganze Zahlen mit${\displaystyle {}u^{a}=v^{b}}$.Zeige, dass es ganze Zahlen ${\displaystyle {}c,d}$ und Einheitswurzeln${\displaystyle {}\zeta ,\xi \in \mu _{}{\left(R\right)}}$und eine Einheit ${\displaystyle {}w}$ derart gibt, dass${\displaystyle {}u=\zeta w^{c}}$und${\displaystyle {}v=\xi w^{d}}$gilt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund${\displaystyle {}u\in R^{\times }}$eineEinheit,die keine Einheitswurzelsei. Zeige, dass man aus ${\displaystyle {}u}$ nur zu endlich vielen Exponenten Wurzeln ziehen kann.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund sei${\displaystyle {}u\in R^{\times }}$Teil eines Systems vonFundamentaleinheiten.Zeige, dass ${\displaystyle {}u}$ keinerlei Wurzelbesitzt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund sei${\displaystyle {}u\in R^{\times }}$derart, dass ${\displaystyle {}\zeta u}$, wobei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine Einheitswurzel in ${\displaystyle {}R}$ bezeichnet, in ${\displaystyle {}R}$ keinerlei Wurzelbesitze. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}u}$ Teil eines Systems vonFundamentaleinheitenist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereichmit${\displaystyle {}r\geq 1}$reellen Einbettungenund ${\displaystyle {}s}$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es gelte${\displaystyle {}r+s\geq 3}$und es sei${\displaystyle {}R\subseteq \mathbb {R} }$eine fixierte reelle Einbettung. Zeige, dass es zu jedem${\displaystyle {}\delta >0}$Einheiten${\displaystyle {}u\in R}$mit${\displaystyle {}1<u\leq 1+\delta }$gibt.

Es sei${\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{2}-6Y+1\right)}}$und ${\displaystyle {}p}$ eine ungeradePrimzahlderart, dass ${\displaystyle {}Y^{2}-6Y+1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$ irreduzibel ist. Zeige, dass ${\displaystyle {}Y}$ kein Erzeuger der multiplikativen Gruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[Y]/{\left(Y^{2}-6Y+1\right)}}$ ist.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/(F)}$einZahlbereichmit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom ${\displaystyle {}F}$. Sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$fixiert. Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl mit den folgenden Eigenschaften.

1. ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}p-1}$sind nicht teilerfremd.
2. ${\displaystyle {}F}$ ist irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]}$.
3. Die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in${\displaystyle {}L=\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)}$ist ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle {}L^{\times }}$

Zeige, dass dann ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}R}$ keine ${\displaystyle {}n}$-te Wurzel besitzt.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/(F)}$einZahlbereichmit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom ${\displaystyle {}F}$. Sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$fixiert. Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl derart, dass ${\displaystyle {}p-1}$ nicht teilerfremd zu ${\displaystyle {}n}$ sei. Es sei ${\displaystyle {}L}$ einRestekörperdesFaserringes${\displaystyle {}R/pR}$ mit der Eigenschaft, dass die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}L}$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle {}L^{\times }}$ sei. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}R}$ keine ${\displaystyle {}n}$-te Wurzel besitzt.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$.Zeige mitAufgabe 28.13,dass die Restklasse ${\displaystyle {}x}$ von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}R}$ keine dritte Wurzel besitzt.

Wir betrachten das Polynom${\displaystyle {}F=X^{3}-3X+1}$über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)}$.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}F}$ einirreduzibles Polynomin ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)[X]}$ ist.
2. Es sei ${\displaystyle {}x}$ die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$. Berechne ${\displaystyle {}x^{7}}$ und ${\displaystyle {}x^{49}}$.
3. Zeige, dass ${\displaystyle {}x}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$ eine dritte Wurzel besitzt.

Es seien${\displaystyle {}G}$ und ${\displaystyle {}H}$kommutative Gruppenund sei${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow H}$einGruppenhomomorphismus.

1. Zeige, dass dies einen Homomorphismus

   ${\displaystyle \operatorname {Tor} {\left(G\right)}\longrightarrow \operatorname {Tor} {\left(H\right)}}$

   zwischen denTorsionsuntergruppenund einen Homomorphismus

   ${\displaystyle G/\operatorname {Tor} {\left(G\right)}\longrightarrow H/\operatorname {Tor} {\left(H\right)}}$

   derart induziert, dass sich ein kommutatives Diagramm

   ${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Tor} {\left(G\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G/\operatorname {Tor} {\left(G\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Tor} {\left(H\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H/\operatorname {Tor} {\left(H\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}}$

   mit exaktenZeilen ergibt.

2. Sei ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv.Zeige, dass dann auch die induzierten Homomorphismen aus (1) injektiv sein müssen.
3. Sei ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv.Müssen die induzierten Homomorphismen aus (1) surjektiv sein?

Es seien${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$Zahlbereicheund sei${\displaystyle {}\varphi \colon R\rightarrow S}$einRinghomomorphismus.Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}1&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mu _{}{\left(R\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R^{\times }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&1&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\1&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mu _{}{\left(S\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S^{\times }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S^{\times }/\mu _{}{\left(S\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&1&\!\!\!\!\!\end{matrix}}}$

von Gruppenhomomorphismenmit exaktenZeilen existiert, und dass die vertikalen Homomorphismen injektiv sind.

Es seien${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$Zahlbereicheund sei${\displaystyle {}\varphi \colon R\rightarrow S}$einRinghomomorphismusvomGrad${\displaystyle {}d}$. Es sei${\displaystyle {}u\in R^{\times }}$eineEinheit,die in ${\displaystyle {}R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}}$ keinerlei Wurzel besitze(dazu ist äquivalent, dass ${\displaystyle {}u}$ Teil eines Systems von Fundamentaleinheitenist).Es sei${\displaystyle {}v\in S}$mit

${\displaystyle {}u=v^{n}\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}n}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}d}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungsringund${\displaystyle {}S_{n}=R_{n}\cap \mathbb {R} }$,vergleiche Aufgabe 17.5.Zeige, dass die Restklassengruppe${\displaystyle {}R_{n}^{\times }/S_{n}^{\times }}$ endlich sind.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl,${\displaystyle {}R_{p}}$ der ${\displaystyle {}p}$-teKreisteilungsringund${\displaystyle {}S_{p}=R_{p}\cap \mathbb {R} }$,vergleiche Aufgabe 17.5.Zeige, dass für die Einheitengruppendie Beziehung

${\displaystyle {}R_{p}^{\times }=\mu _{}{\left(R_{p}\right)}\cdot S_{p}^{\times }\,}$

gilt. D.h. die Einheitengruppe wird von den Einheitswurzeln und den reellen Einheiten erzeugt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund sei${\displaystyle {}u\in R^{\times }}$Teil eines Systems von Fundamentaleinheitenvon ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass es eine Erweiterung von Zahlbereichen${\displaystyle {}R\subseteq S}$derart gibt, dass ${\displaystyle {}u}$ in ${\displaystyle {}S}$ nicht zu einem System von Fundamentaleinheiten gehört.

Man gebe Beispiele für eine endlicheGaloiserweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$mit zugehörigemZahlbereich${\displaystyle {}R}$ derart, dass der natürlicheGruppenhomomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(R^{\times })}$

1. bijektiv,
2. injektiv und nicht surjektiv,
3. surjektiv und nicht injektiv,
4. weder injektiv noch surjektiv

ist.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$eineendliche KörpererweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$ und sei ${\displaystyle {}R}$ der zugehörigeZahlbereichmit ${\displaystyle {}r}$ reellen Einbettungenund ${\displaystyle {}s}$ Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{r+s-1}}$ durch lineare Automorphismenwirkt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einreell-quadratischer Zahlbereich.Zeige, dass dieKonjugationauf

${\displaystyle {}R^{\times }/\{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} \,}$

als Negation wirkt.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$eineendliche KörpererweiterungmitGaloisgruppe${\displaystyle {}G}$ und sei ${\displaystyle {}R}$ der zugehörigeZahlbereichmit ${\displaystyle {}r}$ reellen Einbettungenund ${\displaystyle {}s}$ Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{r+s-1}}$ durch lineare Automorphismenwirkt.

Wir betrachten denZahlbereich${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}}$.Es ist(vergleicheBeispiel 25.5)

${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(R{|}\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /(3)=\langle \varphi \rangle \,}$

und

${\displaystyle {}R^{\times }/\{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} ^{2}\,}$

Bestimme die Matrix, die die Wirkung von ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$ beschreibt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ringund ${\displaystyle {}A}$ eine kommutative${\displaystyle {}R}$-Algebra.Zeige, dass durch

${\displaystyle A^{\times }\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,f\longmapsto {\frac {df}{f}},}$

einGruppenhomomorphismusvon der Einheitengruppein den Modul der Kähler-Differentialedefiniert wird.

Beschreibe dielogarithmische Ableitungexplizit für dieimaginär-quadratischen Zahlbereiche.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahlund ${\displaystyle {}R_{p}}$ der ${\displaystyle {}p}$-teKreisteilungsring.Zeige, dass durch dielogarithmische AbleitungeinGruppenhomomorphismus

${\displaystyle \mu _{}{\left(R_{p}\right)}\longrightarrow \Omega _{R_{p}{|}\mathbb {Z} }}$

gegeben ist, dessenKerngleich ${\displaystyle {}\{\pm 1\}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichmit ${\displaystyle {}r}$ reellen und ${\displaystyle {}s}$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei${\displaystyle {}f\in R}$,${\displaystyle {}f\neq 0}$,ein Element mit der Primidealzerlegung

${\displaystyle {}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.}$

Zeige, dass dieEinheitengruppe${\displaystyle {}R_{f}^{\times }}$ der Nenneraufnahme${\displaystyle {}R_{f}}$isomorphzu ${\displaystyle {}\mu _{}{\left(R\right)}\times \mathbb {Z} ^{r+s+k-1}}$ ist.