Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 17

Wir setzen

${\displaystyle {}S:=\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\subseteq R_{p}\subseteq {\mathbb {C} }\,.}$

Das ${\displaystyle {}p}$-te Kreisteilungspolynom zerfällt

${\displaystyle {}X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=\prod _{k=1}^{p-1}(X-\zeta ^{k})\,,}$

über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und auch über ${\displaystyle {}S}$. Für${\displaystyle {}X=1}$ergibt sich speziell die Gleichung

${\displaystyle {}p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})\,.}$

Aufgrund der endlichen geometrischen Reihe ist

${\displaystyle {}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{k-1}\,}$

und dieses Element gehört zu ${\displaystyle {}S}$. Da ${\displaystyle {}k}$ zwischen${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}p-1}$ist, gibt es jeweils ein ${\displaystyle {}\ell }$ mit${\displaystyle {}k\cdot \ell =1\mod p}$.Wegen${\displaystyle {}\zeta ^{p}=1}$und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {1-\zeta }{1-\zeta ^{k}}}&={\frac {1-\zeta ^{k\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&={\frac {1-(\zeta ^{k})^{\ell }}{1-\zeta ^{k}}}\\&=1+\zeta ^{k}+(\zeta ^{k})^{2}+\cdots +(\zeta ^{k})^{\ell -1}\end{aligned}}}$

gehört dieses Element ebenfalls zu ${\displaystyle {}S}$, d.h. die Elemente ${\displaystyle {}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}}$ sind Einheiten in ${\displaystyle {}S}$. Deshalb ist

${\displaystyle {}p=\prod _{k=1}^{p-1}(1-\zeta ^{k})=\prod _{k=1}^{p-1}{\frac {1-\zeta ^{k}}{1-\zeta }}(1-\zeta )=u\cdot (1-\zeta )^{p-1}\,}$

mit einer Einheit ${\displaystyle {}u}$ aus ${\displaystyle {}S}$. Deshalb gilt in ${\displaystyle {}S}$ und damit auch im ganzen Abschluss ${\displaystyle {}R_{p}}$ die Idealgleichheit ${\displaystyle {}(p)=((1-\zeta )^{p-1})}$.

Im ganzen Abschluss liegt nachSatz 12.2eine Idealzerlegung

${\displaystyle {}(1-\zeta )={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}\,}$

vor und daher gilt dort

${\displaystyle {}(p)=((1-\zeta )^{p-1})={\mathfrak {p}}_{1}^{p-1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}^{p-1}\,.}$

Da der Grad der Erweiterung gleich ${\displaystyle {}p-1}$ ist, folgt direkt${\displaystyle {}r=1}$und somit, dass ${\displaystyle {}(1-\zeta )}$ ein Primideal ist, und zwar das einzige über ${\displaystyle {}(p)}$.

Wir zeigen, dass

${\displaystyle {}\mathbb {Z} [\zeta ]\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{p-1}+Y^{p-2}+\cdots +Y^{2}+Y+1)\,}$

bereitsnormalist, also mit seinem ganzen Abschluss übereinstimmt. Dazu genügt es zu zeigen, dass dieLokalisierungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [\zeta ]}$ an jedem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}}$ eindiskreter Bewertungsringist. Es sei

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}\cap \mathbb {Z} =(q)\,}$

mit einer Primzahl ${\displaystyle {}q}$ und wir machen eine Fallunterscheidung je nachdem, ob${\displaystyle {}q=p}$ist oder nicht. Bei${\displaystyle {}q=p}$zeigtLemma 17.13,dass${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}=(\zeta -1)}$ein Hauptideal ist, was sich auf die Lokalisierung überträgt. Bei${\displaystyle {}q\neq p}$lokalisieren wir die Situation an ${\displaystyle {}(q)}$. Da ${\displaystyle {}X^{p}-1}$ und seine Ableitung ${\displaystyle {}pX^{p-1}}$ teilerfremd in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{(q)}[X]}$ sind, gilt dies auch für das Kreisteilungspolynom und seine Ableitung. Deshalb sind die Primteiler des Kreisteilungspolynoms in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(q)[X]}$ einfach. Somit sind die Lokalisierungen oberhalb von ${\displaystyle {}(q)}$ nachLemma 15.1diskrete Bewertungsringe.

Das ${\displaystyle {}p}$-te Kreisteilungspolynomist

${\displaystyle {}\Phi _{p}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1=(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})\,.}$

Es ist nachLemma 8.11

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\triangle (1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2})&=\prod _{0\leq i<j\leq p-2}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})^{2}\\&=\pm \prod _{0\leq i,j\leq p-2,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j}).\end{aligned}}}$

Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen${\displaystyle {}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}}$ und ${\displaystyle {}\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}}$betrachtet, so ist deren Determinante gleich ${\displaystyle {}\pm 1}$ und deshalb kann manwegen Lemma 8.2genauso gut ${\displaystyle {}\pm \prod _{1\leq i,j\leq p-1,\,i\neq j}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})}$ berechnen.

Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von ${\displaystyle {}\Phi _{p}}$ ist nach der Produktregel gleich

${\displaystyle \sum _{k=1}^{p-1}(X-\zeta )(X-\zeta ^{2})\cdots (X-\zeta ^{p-1})/(X-\zeta ^{k}).}$

Wenn man darin${\displaystyle {}\zeta ^{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,p-1}$,einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für${\displaystyle {}k=i}$zu ${\displaystyle {}0}$, und der verbleibende Summand ist

${\displaystyle {}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\prod _{1\leq j\leq p-1,\,j\neq i}(\zeta ^{i}-\zeta ^{j})\,.}$

Somit ist die Diskriminante gleich

${\displaystyle {}\pm \prod _{i=1}^{p-1}\Phi _{p}'(\zeta ^{i})=\pm \prod _{\varphi }\Phi _{p}'(\varphi (\zeta ))=\pm \prod _{\varphi }\varphi (\Phi _{p}'(\zeta ))=\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\varphi }$ die Galoisgruppe durchläuft undLemma 7.14verwendet wurde. Aufgrund von

${\displaystyle {}X^{p}-1=(X-1)\Phi _{p}\,}$

gilt für die Ableitung auch die Beziehung

${\displaystyle {}pX^{p-1}=(X-1)\Phi _{p}'-\Phi _{p}\,.}$

Wenn man darin ${\displaystyle {}\zeta }$ einsetzt, so erhält man

${\displaystyle {}p\zeta ^{p-1}=p\zeta ^{-1}=(\zeta -1)\Phi _{p}'(\zeta )\,}$

und somit

${\displaystyle {}\Phi _{p}'(\zeta )=p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1}\,.}$

Die Norm von ${\displaystyle {}\zeta -1}$ ist

${\displaystyle {}N(\zeta -1)=\prod _{k=1}^{p-1}(\zeta ^{k}-1)=\pm \Phi _{p}(1)=\pm p\,.}$

Deshalb ist die Diskriminante nachLemma 8.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))undLemma 10.2gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\pm N(\Phi _{p}'(\zeta ))&=\pm N(p\zeta ^{-1}(\zeta -1)^{-1})\\&=\pm N(p)N(\zeta ^{-1})N((\zeta -1)^{-1})\\&=\pm p^{p-1}\cdot {\frac {1}{p}}\\&=\pm p^{p-2}\end{aligned}}}$

Dies wird ähnlich wieLemma 17.16bewiesen.

Dies wird zuerst ausgehend vonLemma 17.14für Primzahlpotenzen bewiesen. Bei${\displaystyle {}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{k}^{r_{k}}}$ergibt sich eine Ganzheitsbasis des Ganzheitsringes wegen der nachLemma 17.17teilerfremden Diskiminanten aus den Produkten der Ganzheitsbasen der einzelnen Kreisteilungsringen zu den Primzahlpotenzen.