Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 18

Dies beruht darauf, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}S_{{\mathfrak {q}}_{j}}}$ die Ordnung ${\displaystyle {}r_{j}}$ besitzt, was aufLemma 11.11  (1)beruht.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ein maximales Idealvon ${\displaystyle {}R}$ und

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,}$

die Zerlegung des Erweiterungsideales ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}S}$ in Ideale, die es nachSatz 12.2gibt. Das bedeutet insbesondere, dass die Ortsuniformisierende ${\displaystyle {}p}$ zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}S_{{\mathfrak {q}}_{j}}}$ dieOrdnung${\displaystyle {}r_{j}}$ besitzt. Es liegtnach Lemma 18.3genau dann Verzweigungvor, wenn${\displaystyle {}r_{j}\geq 2}$für mindestens ein ${\displaystyle {}j}$ gilt. Der Faserringist unter Verwendung vonSatz 12.8gleich

${\displaystyle {}\kappa ({\mathfrak {p}})[X]/(F)=S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.}$

Dieser Ring ist genau dann reduziert, wenn${\displaystyle {}r_{j}=1}$für alle ${\displaystyle {}j}$ gilt. Deshalb folgt die Aussage aus Lemma Anhang 8.3.

Wir wendenLemma 18.5auf die endliche Erweiterung${\displaystyle {}K[Y]\subseteq K[Y][X]/(Y-P(X))}$an. Da ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen ist, ist ${\displaystyle {}K}$ vollkommenund der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich ${\displaystyle {}K}$. Verzweigung oberhalb von ${\displaystyle {}(Y-b)}$ ist also die Frage, ob${\displaystyle {}F=Y-P(X)}$ und ${\displaystyle {}F'=-P'(X)}$ im Restekörper teilerfremd sind. Dabei ist ${\displaystyle {}Y}$ als ${\displaystyle {}b}$ zu interpretieren, es geht also darum, ob${\displaystyle {}P(X)-b}$ und ${\displaystyle {}P'(X)}$teilerfremd sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn diese beiden Polynome keine gemeinsame Nullstelle in ${\displaystyle {}K}$ besitzen.

Es sei

${\displaystyle {}L=K[x]=K[X]/(F)\,}$

mit einem normierten Polynom ${\displaystyle {}F}$, was esnach dem Satz vom primitiven Elementgibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen

${\displaystyle {}R\subseteq R[x]\cong R[X]/(F)\subseteq S\,}$

wobei ${\displaystyle {}S}$ die Normalisierung von ${\displaystyle {}R[x]}$ ist. Es sei

${\displaystyle {}S=R[x][{\frac {g_{1}}{f_{1}}},\ldots ,{\frac {g_{n}}{f_{n}}}]\,}$

mit${\displaystyle {}g_{i},f_{i}\in R[x]}$und wobei wir${\displaystyle {}f_{i}\in R}$annehmen dürfen. Sei

${\displaystyle {}f=\prod f_{i}\neq 0\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}R_{f}[x]=R[x]_{f}=S_{f}\,.}$

Das heißt, dass oberhalb von ${\displaystyle {}R_{f}}$ der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von ${\displaystyle {}(f)}$ nur endlich viele Primideale in ${\displaystyle {}R}$ gibt, genügt es zu zeigen, dass in ${\displaystyle {}D(f)}$ nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also

${\displaystyle {}S=R[x]\,}$

alsmonogenannehmen. Wir betrachten das von${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$erzeugte Ideal in ${\displaystyle {}R[X]}$. Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in ${\displaystyle {}K[X]}$ das Einheitsideal, was in ${\displaystyle {}R[X]}$ bedeutet, dass es Polynome ${\displaystyle {}P,Q}$ gibt mit

${\displaystyle {}FP+F'Q=g\in R\,}$

mit${\displaystyle {}g\neq 0}$. Dies heißt wiederum, dass in ${\displaystyle {}R_{g}[X]}$ die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach Lemma 18.5auf ${\displaystyle {}D(g)}$ keine Verzweigung statt. Oberhalb von ${\displaystyle {}g}$ gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus ${\displaystyle {}D(g)}$ verzweigen nicht.

NachSatz 12.2liegt in ${\displaystyle {}S}$ eine Produktzerlegung

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,}$

vor und nachSatz 12.8ist

${\displaystyle {}S/{\mathfrak {p}}S\cong S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.}$

Dieser Restklassenring, der der Faserring zu ${\displaystyle {}S}$ über ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten ${\displaystyle {}r_{i}}$ gleich ${\displaystyle {}1}$ sind. Dies charakterisiert nachLemma 18.3auch die Unverzweigtheit.

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar aufgrund vonAufgabe 17.17.Es sei (2) erfüllt,${\displaystyle {}A=L_{1}\times \cdots \times L_{r}}$.Wegen der Voraussetzung vollkommen sind die Körpererweiterungen${\displaystyle {}K\subseteq L_{j}}$separabel.Die Spur${\displaystyle {}A\rightarrow K}$setzt sich zusammen aus der Summe der Spuren zu den Körpererweiterungen, da man von diesen jeweils Basen wählen kann und sich diese zu einer Gesamtbasis von ${\displaystyle {}A}$ zusammensetzen. Bezüglich einer solchen Basis sind die Multiplikationsmatrizen Diagonalblockmatrizen. Bei${\displaystyle {}x\in A}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden ist auch eine Komponente ${\displaystyle {}x_{j}}$ in einem Körper ${\displaystyle {}L_{j}}$ von ${\displaystyle {}0}$ verschieden. Im Körperfall ist die Spurform nichtausgeartet und daher gibt es ${\displaystyle {}y_{j}\in L_{j}}$(das wir in ${\displaystyle {}A}$ auffassen können)mit${\displaystyle {}S(x,y_{j})=S(x_{j}y_{j})\neq 0}$.(3) und (4) sind äquivalent. Wenn die Spurform nicht ausgeartet ist, so besitzt die Gramsche Matrixdavon eine von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Determinante, und umgekehrt, sieheAufgabe 38.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))bzw.Lemma 8.3.

Es sei nun ${\displaystyle {}A}$ nicht reduziert. Zu einem nilpotenten Element ${\displaystyle {}f}$ ist das Minimalpolynom gleich ${\displaystyle {}X^{m}}$ und damit ist auch das charakteristische Polynom gleich ${\displaystyle {}X^{n}}$, wobei ${\displaystyle {}n}$ den Grad der Erweiterung bezeichnet(für einen Körper ${\displaystyle {}A}$ wurde dies in Lemma 7.10gezeigt, es gilt aber auch sonst).Deshalb ist die Spur von ${\displaystyle {}f}$ nachAufgabe 7.19gleich ${\displaystyle {}0}$. Zu einem nilpotenten Element ${\displaystyle {}f}$ und einem beliebigen Element ${\displaystyle {}x}$ ist auch ${\displaystyle {}fx}$ nilpotent und daher ist, wenn es ein nichttriviales nilpotentes Element gibt, die Spurform ausgeartet.

NachKorollar 8.6ist ${\displaystyle {}R}$ ein freier ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Modul, dessen Rang der Grad ${\displaystyle {}n}$ der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nachKorollar 8.8ist der Faserring über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ eine${\displaystyle {}n}$-dimensionale${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Basis ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ von ${\displaystyle {}R}$ fixiert. Eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Basis von ${\displaystyle {}R}$ wird modulo ${\displaystyle {}p}$ zu einer ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Basis von ${\displaystyle {}R/(p)}$, siehe den Beweis zuKorollar 8.8.In der Multiplikationsmatrix zu ${\displaystyle {}f}$ bezüglich ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ stehen die ganzen Zahlen ${\displaystyle {}c_{ij}}$, die durch

${\displaystyle {}fb_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}b_{j}\,}$

gegeben sind. Da ${\displaystyle {}R\rightarrow R/(p)}$ein Ringhomomorphismus ist, folgt

${\displaystyle {}{\overline {f}}{\overline {b}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\overline {c}}_{ij}{\overline {b}}_{j}\,}$

und daher ist die Multiplikationsmatrix zu ${\displaystyle {}{\overline {f}}}$ bezüglich ${\displaystyle {}{\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}}$ einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur

${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}\,}$

gleich ${\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}{\overline {c}}_{ii}}$, also gleich der Spur der Reduktion.

Es sei ${\displaystyle {}b_{1},\ldots ,b_{n}}$ eineGanzheitsbasisvon ${\displaystyle {}R}$. Die Matrix ${\displaystyle {}M}$ mit den Einträgen ${\displaystyle {}\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}}$ ist die Gramsche Matrixder Spurform. Die Gramsche Matrix ${\displaystyle {}M'}$ der Spurform zu ${\displaystyle {}R/(p)}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ bezüglich der ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Basis ${\displaystyle {}{\overline {b}}_{1},\ldots ,{\overline {b}}_{n}}$ entsteht daraus nachLemma 18.14durch komponentenweise Reduktion. Da das Berechnen der Determinante mit beliebigen Ringwechseln verträglich ist, ist die Determinante von ${\displaystyle {}M'}$ gleich der Determinante von ${\displaystyle {}M}$(also der Diskriminante von ${\displaystyle {}R}$)modulo ${\displaystyle {}p}$ genommen. Somit ist ${\displaystyle {}p}$ genau dann ein Teiler der Diskriminante von ${\displaystyle {}R}$, wenn die Diskriminante des Faserringes gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Dies ist nachSatz 18.13äquivalent dazu, dass der Faserring nicht reduziert ist.