Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 17

Schreibe den ${\displaystyle {}5}$-tenKreisteilungskörper${\displaystyle {}K_{5}}$ als quadratische Körpererweiterungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}$.

Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper ${\displaystyle {}K_{13}}$?

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl.Betrachte das Polynom

${\displaystyle {}P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$irreduzibelin ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}L}$ der neunteKreisteilungskörperüber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Zeige

${\displaystyle {}L\cap \mathbb {R} \cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörperüber ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ und

${\displaystyle {}L_{n}=K_{n}\cap \mathbb {R} \,.}$

Zeige, dass bei${\displaystyle {}n\geq 3}$die Körpererweiterung${\displaystyle {}L_{n}\subseteq K_{n}}$denGrad${\displaystyle {}2}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ungerade. Zeige, dass der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörper mit dem ${\displaystyle {}2n}$-ten Kreisteilungskörper übereinstimmt.

Bestimme dieKreisteilungspolynome${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ für${\displaystyle {}n\leq 15}$.

Zeige, dass für${\displaystyle {}n\geq 2}$der konstante Koeffizient der Kreisteilungspolynome${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ immer ${\displaystyle {}1}$ ist.

Zeige, dass für verschiedene ${\displaystyle {}n}$ auch die Kreisteilungspolynome${\displaystyle {}\Phi _{n}}$ verschieden sind, dass aber die Kreisteilungskörpergleich sein können.

Es sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$.Zeige, dass in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}$ die Gleichung

${\displaystyle {}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}\,}$

gilt.

Es sei${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}}$(in ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$)der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörper und sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente${\displaystyle {}\zeta ^{i}}$, ${\displaystyle {}i\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }}$.

a) Zeige, dass für eine Primzahl ${\displaystyle {}n=p}$ diese Elemente eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}K_{n}}$ bilden.

b) Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}n=p^{2}}$. Zeige, dass diese Elemente keine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}K_{n}}$ bilden.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$,${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}}$der ${\displaystyle {}n}$-te Kreisteilungskörperund sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine ${\displaystyle {}n}$-te primitive Einheitswurzel.

1. Zeige, dass für jedes ${\displaystyle {}k}$ die(benachbarten)Einheitswurzeln

   ${\displaystyle \zeta ^{k},\zeta ^{k+1},\ldots ,\zeta ^{k+{\varphi (n)}-1}}$

   eine${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basisvon ${\displaystyle {}K_{n}}$.

2. Bilden die primitiven ${\displaystyle {}n}$-ten Einheitswurzeln stets eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis von ${\displaystyle {}K_{n}}$?

Bestimme dieNormund dieSpurder ${\displaystyle {}n}$-ten komplexen Einheitswurzeln im ${\displaystyle {}n}$-ten Kreisteilungskörper.

Es sei ${\displaystyle {}\zeta _{n}\in {\mathbb {C} }}$ eine ${\displaystyle {}n}$-teprimitive Einheitswurzel,und${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [\zeta _{n}]}$der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es galoissche Körpererweiterungen${\displaystyle {}K\subseteq L}$gibt, deren Galoisgruppezyklischder Ordnung${\displaystyle {}n}$ ist.

Zeige, dass das achte Kreisteilungspolynom ${\displaystyle {}X^{4}+1}$ über allen endlichen Primkörpern ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{p}}$ reduzibel ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ einendlicher Körpermit ${\displaystyle {}q}$ Elementen und${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.Es sei ${\displaystyle {}a}$ dergrößte gemeinsame Teilervon${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}q-1}$.Zeige, dass es in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ genau ${\displaystyle {}a}$ ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzeln gibt.

Man folgere, dass es ${\displaystyle {}n}$ ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzeln in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ genau dann gibt, wenn ${\displaystyle {}n}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}q-1}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl, die wir als ${\displaystyle {}n=kp^{a}}$ schreiben mit${\displaystyle {}k}$ und ${\displaystyle {}p}$teilerfremd.Zeige, dass der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörper über ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{p}}$ gleich ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ ist(mit ${\displaystyle q=p^{e}}$), wobei ${\displaystyle {}q}$ die minimale echte Potenz von ${\displaystyle {}p}$ mit der Eigenschaft ist, dass ${\displaystyle {}q-1}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}k}$ ist. Zeige insbesondere, dass es ein solches ${\displaystyle {}q}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K_{p}}$ der ${\displaystyle {}p}$-te Kreisteilungskörperzu einer Primzahl ${\displaystyle {}p}$ und sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive ${\displaystyle {}p}$-te Einheitswurzel. Bestimme die Übergangsmatrix und ihre Determinantefür die ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basen${\displaystyle {}1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{p-2}}$ und ${\displaystyle {}\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,,\zeta ^{p-2},\zeta ^{p-1}}$ von ${\displaystyle {}K_{p}}$.

Bestimme die Zwischenkörper des ${\displaystyle {}7}$-tenKreisteilungskörpers${\displaystyle {}K_{7}}$. Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.

Es sei ${\displaystyle {}K_{n}}$ der ${\displaystyle {}n}$-teKreisteilungskörper, ${\displaystyle {}n\geq 3}$. Zeige, dass es einen Zwischenkörper${\displaystyle {}L}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq K_{n}}$,gibt, der einequadratische Körpererweiterungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}\zeta }$ eine primitive ${\displaystyle {}7.}$ Einheitswurzel. Wir betrachten das Element

${\displaystyle {}y=\zeta +\zeta ^{2}-\zeta ^{3}+\zeta ^{4}-\zeta ^{5}-\zeta ^{6}\in \mathbb {Z} [\zeta ]=R_{7}\,}$

im siebten Kreisteilungsring.

1. Skizziere ${\displaystyle {}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3},\zeta ^{4},\zeta ^{5},\zeta ^{6}}$ und verorte ${\displaystyle {}y}$ geometrisch.
2. Berechne ${\displaystyle {}y^{2}}$.
3. Bestimme einen quadratischen Zahlbereich,der im siebten Kreisteilungsring enthalten ist.

Analysiere für den zwölftenKreisteilungsring${\displaystyle {}R_{12}}$ das Zerlegungsverhalten für die Primzahlen${\displaystyle {}p\leq 20}$.Studiere dabei auch das Zerlegungsverhalten in den Zwischenringen${\displaystyle {}R_{3}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]}$,${\displaystyle {}R_{4}=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]}$.