Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 24

Zeige, dass der Einheitskreis

${\displaystyle {}S_{\mathbb {R} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {R} [{\mathrm {i} }]\cong {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,}$

isomorphzu ${\displaystyle {}\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ist.

Charakterisiere die Restklassengruppeeines Gitters${\displaystyle {}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Es seien${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$vollständige Gitter.Zeige, dass es eine${\displaystyle {}\mathbb {R} }$-lineare Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

gibt, die einenGruppenisomorphismus

${\displaystyle \Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}}$

induziert.

Es seien ${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ rationalevollständige Gitter.Zeige, dass es eine${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-lineare Abbildung

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{n}}$

gibt, die einenGruppenisomorphismus

${\displaystyle \Gamma _{1}\longrightarrow \Gamma _{2}}$

induziert.

Es seien${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$rationalevollständige Gitter.Zeige, dass es ein rationales Gitter${\displaystyle {}\Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ mit${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq \Gamma }$gibt.

Alle Springmäuse leben in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung ${\displaystyle {}\pm (3,4)}$ und den Sprung ${\displaystyle {}\pm (5,2)}$. Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen

${\displaystyle (14,11),\,(13,15),\,(17,12),\,(15,19),\,(16,16){\mbox{ und }}(12,20).}$

Welche Springmäuse können sich begegnen?

Sind alle Viereckekonvex?

Zeige, dass der Durchschnitt von konvexenMengen wieder konvex ist.

Es sei ${\displaystyle {}U}$ eine Teilmenge des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Zeige, dass ein Punkt ${\displaystyle {}Q\in \mathbb {R} ^{n}}$ genau dann zur konvexen Hülle von ${\displaystyle {}U}$ gehört, wenn es endlich viele Punkte ${\displaystyle {}P_{i}\in U}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, und reelle Zahlen ${\displaystyle {}r_{i}}$, ${\displaystyle {}i\in I}$, mit ${\displaystyle {}r_{i}\in [0,1]}$, ${\displaystyle {}\sum _{i\in I}r_{i}=1}$ und mit

${\displaystyle Q=\sum _{i\in I}r_{i}P_{i}}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einHausdorffraumund es sei${\displaystyle {}Y\subseteq X}$eine Teilmenge, die dieinduzierte Topologietrage. Es sei ${\displaystyle {}Y}$ kompakt.Zeige, dass ${\displaystyle {}Y}$ abgeschlossen in ${\displaystyle {}X}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eintopologischer Raumund es seien${\displaystyle {}Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X}$ kompakte Teilmengen.Zeige, dass auch dieVereinigung${\displaystyle {}Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}}$ kompakt ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einHausdorff-Raum,${\displaystyle {}Y\subseteq X}$einekompakte Teilmengeund${\displaystyle {}P\notin Y}$ein Punkt. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen${\displaystyle {}U,V\subseteq X}$mit${\displaystyle {}Y\subseteq U}$und${\displaystyle {}P\in V}$gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einHausdorff-Raumund seien${\displaystyle {}Y,Z\subseteq X}$kompakte Teilmengen,die zueinanderdisjunktseien. Zeige, dass es offene disjunkte Mengen${\displaystyle {}U,V\subseteq X}$mit${\displaystyle {}Y\subseteq U}$und${\displaystyle {}Z\subseteq V}$gibt.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ einmetrischer Raumund seien${\displaystyle {}Y,Z\subseteq X}$kompakte Teilmengen,die zueinanderdisjunktseien. Zeige, dass es ein${\displaystyle {}d>0}$derart gibt, dass für beliebige Punkte${\displaystyle {}P\in Y}$und${\displaystyle {}Q\in Z}$die Abstandsbedingung${\displaystyle {}d(P,Q)\geq d}$gilt.

Es seien${\displaystyle {}X,Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$kompakte Teilmengen.Zeige, dass es Punkte${\displaystyle {}x\in X}$ und ${\displaystyle {}y\in Y}$mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte${\displaystyle {}P\in X}$ und ${\displaystyle {}Q\in Y}$die Abschätzung

${\displaystyle {}d(x,y)\leq d(P,Q)\,}$

gilt.

Skizziere zum Gitter ${\displaystyle {}\mathbb {Z} ^{2}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ drei Teilmengen, die die Maßbedingung des Gitterpunksatzes von Minkowski erfüllen, die den Nullpunkt, aber keine weiteren Gitterpunkte enthalten, und die jeweils zwei der drei Bedingungen konvex, kompaktund zentralsymmetrischerfüllen.