Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 23



Aufgaben

Aufgabe

Wo wird im Beweis zuLemma 23.1verwendet, dassist. Welche der angeführten Eigenschaften gelten bei ,welche nicht? Wie sieht es beiundaus?


Aufgabe

InterpretiereSatz 23.2im Fall,also im Fall der Eisenstein-Zahlen.Vergleiche insbesondere mitAufgabe 9.29.


Aufgabe

InterpretiereSatz 23.2im Fall,also im Fall der Gaußschen Zahlen.Vergleiche insbesondere mitAufgabe 9.26.


Aufgabe

Bestimme das ZerlegungsverhaltenimKreisteilungsring für die Primzahlen.


Aufgabe

Bestimme das ZerlegungsverhaltenimKreisteilungsring für die PrimzahlenFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} q = 2,3,5,7,11,13,17,19}.


Aufgabe

Bestimme das ZerlegungsverhaltenimKreisteilungsring für die Primzahlen.


Aufgabe

Es sei eine Primzahlund sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} R_p} der -teKreisteilungsring.Bestimme dieZerlegungsgruppeund dieTrägheitsgruppezu einem Primideal über .


Aufgabe

Es seider -te Kreisteilungsringund sei einePrimzahl,die nicht teile. Es sei die multiplikativeOrdnungvon in derEinheitengruppe. Zeige, dass genau dann dieNormeinesIdealsvon ist, wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe

UntersucheKorollar 23.3für den Fall,insbesondere beiund.


Aufgabe

Zeige, dassKorollar 23.3  (7)ohne die Bedingung der Unverzweigtheit nicht zu den anderen Eigenschaften der Aussage äquivalent ist.


Zur folgenden Aufgabe vergleicheAufgabe 21.3.

Aufgabe

Es sei eine Primzahl und

der -te Kreisteilungsring.Es sei

eine Untergruppe der Galoisgruppe,und es seien

dieNebenklassenzu . Zeige, dass der Invariantenring dieGanzheitsbasis

zubesitzt.


Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasenfür die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppein der Situation vonAufgabe 23.11für.


Aufgabe *

Bestimme die Ganzheitsbasenfür die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppein der Situation vonAufgabe 23.11für.


Aufgabe

Bestimme die Ganzheitsbasenfür die Unterringe zu sämtlichen Untergruppen der Galoisgruppein der Situation vonAufgabe 23.11für.


Aufgabe *

Es seider durch erzeugte Unterring des fünftenKreisteilungsringes,wobeidie erste primitive fünfte Einheitswurzel bezeichnet.

  1. Bestimme eine Gleichung für über .
  2. Zeige, dass die Galoisoperation auf dem fünften Kreisteilungskörper keine Gruppenoperation auf induziert.
  3. Bestimme .


Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mitAufgabe 22.24eine natürliche Erklärung für das inAufgabe 22.20beobachtete Verhalten.

Aufgabe *

Wir betrachten die Körperkette

und die zugehörige Kette vonZahlbereichen

Wenn eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei

vergleicheAufgabe 22.23.Zeige, dass für jede Primzahlin eine der Beziehung

gilt. Zeige ferner, dass es allein von der Restklasse von modulo abhängt, welche der drei Fälle gilt.


Aufgabe *

Zeige, dass im sechstenKreisteilungsring weder noch enthalten ist.


Aufgabe

Es sei eine ungerade Primzahlund

die (erste) quadratische Gaußsumme.Es sei ein Automorphismus des -tenKreisteilungsringes.Zeige genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen

durch eine gerade Zahl repräsentiert wird.


Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol


Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

Bemerkung: und sind Primzahlen.


Aufgabe *

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?



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