Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 16

Es sei${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$,${\displaystyle {}q\in \mathbb {Z} }$und${\displaystyle {}a\neq 0}$.Zeige

${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{n}-q)\cong \mathbb {Q} [Y]/(Y^{n}-a^{n}q)\,.}$

Es sei${\displaystyle {}q\geq 2}$eine natürliche Zahl. Bestimme für dieKörpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)\,}$

und ein Element ${\displaystyle {}a+bx+cx^{2}}$ dieMultiplikationsmatrixbezüglich der${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-Basis${\displaystyle {}1,x,x^{2}}$, dascharakteristische Polynom,dieNormund dieSpur.

Es sei ${\displaystyle {}b}$ einequadratfreieZahl ${\displaystyle {}\geq 2}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-b^{2})}$ nichtnormalist.

Es sei${\displaystyle {}q\geq 2}$und${\displaystyle {}L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)}$.Bestimme die Anzahl der reellen und die Anzahl der komplexen Einbettungen von ${\displaystyle {}L}$.

Analysiere die Fasern über ${\displaystyle {}(p)}$ zu${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R}$,wobei ${\displaystyle {}R}$ derZahlbereichzur kubischen Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)}$ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ der Ganzheitsringzur kubischen Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)}$.Zeige, dass die Faser über ${\displaystyle {}(3)}$ aus mehr als einem Punkt bestehen kann.

Es sei ${\displaystyle {}q}$ einePrimzahlmit${\displaystyle {}q=\pm 1\mod 9}$und

${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [x,z]\subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-q\right)}\,}$

mit${\displaystyle {}z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}}$der zugehörige kubischeZahlbereich,sieheKorollar 16.2.Bestimme Darstellungen für ${\displaystyle {}x^{2},xz,z^{2}}$ bezüglich der Ganzheitsbasis${\displaystyle {}1,x,z}$.

Es seien${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$teilerfremdequadratfreienatürliche Zahlen mit${\displaystyle {}a=\pm b\mod 9}$.Es sei${\displaystyle {}x={\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}$,${\displaystyle {}y={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}}$und${\displaystyle {}z={\frac {1+ax+x^{2}}{3}}}$.Bestimme eine Ganzheitsbasisdes zugehörigen Zahlbereichs zu${\displaystyle {}L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-ab^{2})}$der Form ${\displaystyle {}1,z,w}$.

Drücke${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$durch die neue Basis aus.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ derZahlbereichzu einer kubischen Erweiterung. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ eine Restklassenbeschreibung mit(maximal)drei Variablen und drei Gleichungen besitzt.

Es seien ${\displaystyle {}a,b}$ verschiedene quadratfreieZahlen ${\displaystyle {}\neq 1}$, die beide den Rest ${\displaystyle {}1}$ modulo ${\displaystyle {}4}$ haben. Es sei${\displaystyle {}x={\frac {1+{\sqrt {a}}}{2}}}$und${\displaystyle {}y={\frac {1+{\sqrt {b}}}{2}}}$.Zeige, dass${\displaystyle {}z={\frac {1+{\sqrt {ab}}}{2}}}$zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [x,y]}$ gehört.