Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 15

Es sei ${\displaystyle {}B}$ eindiskreter Bewertungsring,sei${\displaystyle {}u\in B^{\times }}$eineEinheitund sei ${\displaystyle {}X^{n}-u}$ irreduzibelin ${\displaystyle {}B[X]}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}R=B[X]/{\left(X^{n}-u\right)}\,}$

normalist, falls ${\displaystyle {}n}$ eine Einheit in ${\displaystyle {}B}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}B}$ eindiskreter Bewertungsring,in dem ${\displaystyle {}2}$ eine Einheitsei, und sei ${\displaystyle {}p}$ eine Ortsuniformisierendevon ${\displaystyle {}B}$. Bestimme, für welche ${\displaystyle {}m}$ der Ring

${\displaystyle {}R=B[X]/{\left(X^{2}-p^{m}\right)}\,}$

einnormaler Integritätsbereichist.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$eineendliche Körpererweiterungund sei${\displaystyle {}S\subseteq L}$eine endliche Ringerweiterungvon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}S}$ genau dann normalist, wenn für jedePrimzahl${\displaystyle {}p}$ dieNenneraufnahme${\displaystyle {}S_{\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} p}}$ normal ist.

Bestimme für welche Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}+3\in \mathbb {Z} /(p)[X]}$irreduzibelist bzw. in einfache Linearfaktorenzerfällt. Für welche Primzahlen ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{(p)}[X]/(X^{2}-3)}$ normal?

1. Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+X+1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ irreduzibel ist.
2. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}X^{3}+X+1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]}$.
3. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}X^{3}+X+1}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(31)[X]}$.
4. Man finde eine positive Zahl ${\displaystyle {}n}$ derart, dass für alle Primzahlen ${\displaystyle {}p}$, die ${\displaystyle {}n}$ nicht teilen, der Faserring ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}}$ reduziert ist.
5. Bestimme, ob ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}}$ einZahlbereichist.

BeweiseSatz 9.8mitKorollar 15.3und einer Sonderbetrachtung für diejenigen Primzahlen, die dadurch nicht abgedeckt sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper. Ein Polynom${\displaystyle {}P\in K[X]}$ heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper${\displaystyle {}K\subseteq L}$mehrfache Nullstellen besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und sei${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}P}$ istseparabel.
2. Es gibt eine Körpererweiterung${\displaystyle {}K\subseteq L}$derart, dass ${\displaystyle {}P}$ über ${\displaystyle {}L}$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
3. ${\displaystyle {}P}$ und dieAbleitung${\displaystyle {}P'}$ sindteilerfremd.
4. ${\displaystyle {}P}$ und dieAbleitung${\displaystyle {}P'}$ erzeugen dasEinheitsideal.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörper und ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ einseparables Polynom.Zeige, dass ein Teiler ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ von ${\displaystyle {}P}$ ebenfalls separabel ist.

Es sei${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} [X]}$ein Polynom, das in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$irreduzibelist. Zeige, dass für alle Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ bis auf endlich viele Ausnahmen alle Primpolynome in der Primfaktorzerlegungvon${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} /(p)[X]}$einfach sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ einKörperund

${\displaystyle K[Y]\longrightarrow K[X]\cong K[Y][X]/(Y-X^{n}),\,Y\longmapsto X^{n},}$

die ${\displaystyle {}n}$-te Potenzabbildung. Bestimme zu${\displaystyle {}b\in K}$denFaserringüber ${\displaystyle {}(Y-b)}$. Wann sind alle Primfaktoren von ${\displaystyle {}X^{n}-b}$ einfach?

Es sei ${\displaystyle {}p}$ einePrimzahl.Zeige, dass die Polynome ${\displaystyle {}X^{n}-p\in \mathbb {Q} [X]}$ für jedes${\displaystyle {}n\geq 1}$irreduzibelsind.

Zeige, dass ein Polynom der Form ${\displaystyle {}X^{n}-p^{2}\in \mathbb {Q} [X]}$ mit einer Primzahl${\displaystyle {}p}$ im Allgemeinen nichtirreduzibelist.

Es sei ${\displaystyle {}B}$ ein diskreter Bewertungsring.Zu einem von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenenPolynom${\displaystyle {}P\in B[X]}$sei ${\displaystyle {}\operatorname {ord} (P)}$ die minimaleOrdnungder Koeffizienten von ${\displaystyle {}P}$. Zeige

${\displaystyle {}\operatorname {ord} (PQ)=\operatorname {ord} (P)+\operatorname {ord} (Q)\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein DedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K}$ und es sei${\displaystyle {}P\in R[X]}$einPolynommitteilerfremdenKoeffizienten. Zeige

${\displaystyle {}(P)R[X]=R[X]\cap (P)K[X]\,.}$

Zeige ferner, dass die Voraussetzung über die Teilerfremdheit notwendig ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein IntegritätsbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}K}$ und es sei${\displaystyle {}P\in R[X]}$einPolynommitteilerfremdenKoeffizienten, das in ${\displaystyle {}K[X]}$irreduzibelsei. Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ auch in ${\displaystyle {}R[X]}$ irreduzibel ist.

Es sei${\displaystyle {}P\in \mathbb {Z} [X]}$ein ganzzahliges normiertes Polynom, dass in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$ irreduzibelsei. Zeige, dass ${\displaystyle {}P}$ auch in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ irreduzibelist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}A}$ eine endlichdimensionale,reduzierte${\displaystyle {}K}$-Algebra. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}A}$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von ${\displaystyle {}K}$ ist.