Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 14

Es sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ ein quadratischer Zahlbereichund sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal ${\displaystyle {}\neq 0}$ in ${\displaystyle {}A_{D}}$. Zeige, dass das konjugierte Ideal ${\displaystyle {}{\overline {\mathfrak {a}}}}$ in der Klassengruppedas Inverse zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichund es seien${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}}$gebrochene Ideale.Zeige, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der Divisorenklassengruppedefinieren, wenn sie als${\displaystyle {}R}$-Modulnisomorphsind.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereich.Zeige, dass einexakter Komplex

${\displaystyle 1\longrightarrow R^{\times }\longrightarrow Q(R)^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow 0}$

vorliegt.

InterpretiereLemma 14.4für die folgenden Fälle:

1. ${\displaystyle {}S}$ wird durch ein Element erzeugt.
2. ${\displaystyle {}S=R\setminus \{0\}}$
3. ${\displaystyle {}R_{S}}$ ist faktoriell.
4. ${\displaystyle {}S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichvomGrad${\displaystyle {}d}$. Zeige, dass dieNormeinen natürlichen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle N\colon \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \mathbb {Q} _{+}^{\times }/T}$

definiert, wobei ${\displaystyle {}T}$ die Menge der Beträge von Normen von Elementen ${\displaystyle {}\neq 0}$ aus ${\displaystyle {}R}$ bezeichnet. Zeige ferner, dass${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Q} _{+}^{\times }\right)}^{d}\subseteq T}$gilt.

Es sei ${\displaystyle {}S}$ derganze Abschlussvon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ in der Körpererweiterung${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\sqrt {2}}]}$.

1. Zeige, dass${\displaystyle {}z={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {-10}}}{2}}}$zu ${\displaystyle {}S}$ gehört.
2. Zeige${\displaystyle {}{\sqrt {-5}}\in \mathbb {Z} [z]}$.
3. Zeige${\displaystyle {}{\sqrt {2}}\notin \mathbb {Z} [z]}$.
4. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}z}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$.
5. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}z}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.

Wir betrachten die Ringerweiterungen

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=R\subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}},{\mathrm {i} }]\subseteq T\,,}$

wobei ${\displaystyle {}T}$ den ganzen Abschlussvon ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\mathrm {i} }]}$ bezeichnet. Zeige, dass das Erweiterungsidealzu

${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,}$

in ${\displaystyle {}T}$ ein Hauptidealwird.

Erkläre „geometrisch“, warum die Primidealeder Form ${\displaystyle {}(X-a,Y-b)}$ des Ringes ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)}$ keine Hauptidealesind.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {R} [X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}}$.Zeige, dass alle Primidealevon ${\displaystyle {}R}$ der Form ${\displaystyle {}(X-a,Y-b)}$ mit${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {R} }$die gleicheDivisorklassefestlegen.

Zeige, dass derRinghomomorphismus

${\displaystyle K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\longrightarrow K[U,V]/(U^{2}+V^{2}-1),\,(X,Y)\longmapsto (U^{2}-V^{2},2UV),}$

über jedemKörperderCharakteristik${\displaystyle {}\neq 2}$ ganzist.

Wir betrachten den kommutativen Ring${\displaystyle {}R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)}$und das Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(X,Y-1)}$ausBeispiel 14.7.Zeige, dass der Ring${\displaystyle {}R_{\mathbb {C} }={\mathbb {C} }[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)}$einHauptidealbereichist und bestimme einen Erzeuger für das Erweiterungsideal${\displaystyle {}(X,Y-1)R_{\mathbb {C} }}$.