Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 13

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring.Definiere zu einem Element ${\displaystyle {}q\in Q(R)}$, ${\displaystyle {}q\neq 0}$, die Ordnung

${\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(q)\in \mathbb {Z} \,.}$

Dabei soll die Definition mit der Ordnungfür Elemente aus ${\displaystyle {}R}$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus${\displaystyle {}Q(R)\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z} }$definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Dedekindbereich.Zeige, dass die Abbildung, die einem Element${\displaystyle {}q\in Q(R)}$, ${\displaystyle {}q\neq 0}$,den Hauptdivisor${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(q\right)}}$ zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(q_{1}q_{2}\right)}=\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)}+\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}}$.
2. Es ist${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(q_{1}+q_{2}\right)}\geq \min\{\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}\}}$.

Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}}$

definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}Q(R)}$ und sei${\displaystyle {}q\in Q(R)\setminus \{0\}}$.Zeige, dass${\displaystyle {}q\in R}$genau dann gilt, wenn derHauptdivisor${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(q\right)}}$ effektivist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einDedekindbereichmitQuotientenkörper${\displaystyle {}Q(R)}$ und sei ${\displaystyle {}D}$ einDivisor.Zeige, dass es ein${\displaystyle {}q\in R}$derart gibt, dass ${\displaystyle {}D+\operatorname {div} {\left(q\right)}}$effektivist.

Bestimme eine rationale Funktion${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }}$,die an der Stelle ${\displaystyle {}2-{\mathrm {i} }}$ einen Pol der Ordnung ${\displaystyle {}4}$, in ${\displaystyle {}-3+5{\mathrm {i} }}$ eine Nullstelle der Ordnung ${\displaystyle {}2}$ und in ${\displaystyle {}-3}$ einen Pol der Ordnung ${\displaystyle {}3}$ besitzt.

Es sei${\displaystyle {}f\neq 0}$eine rationale Funktion${\displaystyle {}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }}$.Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ in${\displaystyle {}a\in {\mathbb {C} }}$ genau dann eine Nullstelle der Ordnung ${\displaystyle {}k}$ besitzt, wenn ${\displaystyle {}f^{-1}}$ in ${\displaystyle {}a}$ einen Pol der Ordnung ${\displaystyle {}k}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein quadratischer Zahlbereich.Definiere zu einem Divisor${\displaystyle {}D}$ den „konjugierten Divisor“ ${\displaystyle {}{\overline {D}}}$. Zeige, dass für${\displaystyle {}q\in Q(R)}$,${\displaystyle {}q\neq 0}$, die Beziehung

${\displaystyle {}{\overline {\operatorname {div} {\left(q\right)}}}=\operatorname {div} {\left({\overline {q}}\right)}\,}$

gilt.

Beweise, dass es zu einem Zahlbereich${\displaystyle {}R}$ einenGruppenisomorphismus

${\displaystyle Q(R)^{\times }/R^{\times }\longrightarrow H}$

gibt, wobei ${\displaystyle {}H}$ die Gruppe derHauptdivisorenbezeichnet.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]}$ einen größten gemeinsamen Teiler für${\displaystyle {}22+25{\sqrt {-2}}}$ und ${\displaystyle {}43-23{\sqrt {-2}}}$.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong {\mathbb {Z} }[X]/(X^{2}+6)}$.Berechne den Hauptdivisorzu

${\displaystyle {}q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {-6}}\,.}$

Es sei

${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+6)\,.}$

Berechne den Hauptdivisor zu

${\displaystyle {}q={\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {-6}}\,.}$

Es sei${\displaystyle {}R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]}$derquadratische Zahlbereichzu${\displaystyle {}D=14}$.Berechne zu

${\displaystyle {}q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,}$

den zugehörigenHauptdivisor.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-15}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}]}$ der quadratische Zahlbereichzu ${\displaystyle {}D=-15}$. Berechne zu

${\displaystyle q={\frac {3}{10}}-{\frac {5}{6}}{\sqrt {-15}}}$

den zugehörigen Hauptdivisorund stelle ihn als Differenz zweiereffektiver Divisorendar.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-11}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-11}}}{2}}]}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-11}$. Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von

${\displaystyle 35+{\sqrt {-11}}{\mbox{ und }}-89+21{\sqrt {-11}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-7}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}]}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=-7}$. Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\displaystyle 4+9{\sqrt {-7}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}D}$ quadratfrei mit ${\displaystyle {}D=3\mod 4}$ und ${\displaystyle {}D<-1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}(2,1+{\sqrt {D}})}$ ein Primidealimquadratischen Zahlbereich${\displaystyle {}A_{D}}$ ist, aber kein Hauptideal.Folgere, dass diese Ringe nicht faktoriell sind.

Im quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}A_{6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {6}}]}$ gilt

${\displaystyle 2\cdot 3={\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {6}}.}$

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.

Im quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}A_{-6}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]}$ gilt

${\displaystyle -2\cdot 3={\sqrt {-6}}\cdot {\sqrt {-6}}.}$

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?

Es sei ${\displaystyle {}D}$ quadratfrei und betrachte ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}}$. Charakterisiere für die beiden Ringe, wann ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ prim ist.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]}$ einen größten gemeinsamen Teiler für${\displaystyle {}-169+2{\sqrt {-2}}}$ und ${\displaystyle {}-70+113{\sqrt {-2}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}D\leq -2}$ quadratfrei und betrachte ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]}$. Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von ${\displaystyle {}D}$ durch

${\displaystyle {}D={\sqrt {D}}{\sqrt {D}}\,}$

gegeben ist. Zeige damit, dass ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls ${\displaystyle {}-D}$ keine Primzahl ist, dann auch ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ nicht prim in ${\displaystyle {}R}$ ist.

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q} }$,das durch die rationalen Zahlen

${\displaystyle {\frac {4}{7}},\,{\frac {7}{10}},\,{\frac {13}{8}}\,}$

erzeugt wird.

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich

${\displaystyle {\frac {11}{77}},\;{\frac {25}{49}},\;{\frac {82}{15}}.}$

Berechne das zugehörige gebrochene Ideal,das seinem Lebensraum entspricht.

Es sei${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$.Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus${\displaystyle {}Q(R)=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$,das durch die beiden Erzeuger

${\displaystyle {\frac {5}{7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {-8+6{\mathrm {i} }}{5}}}$

gegeben ist.

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich

${\displaystyle {\frac {3}{4}}-{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} },\,2+{\frac {2}{3}}{\mathrm {i} },\,{\frac {1}{7}}+7{\mathrm {i} }.}$

Man gebe eine einfache Beschreibung des gebrochenen Ideals,das ihrem Lebensraum entspricht.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{-13}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-13}}]}$ der quadratische Zahlbereichzu ${\displaystyle {}D=-13}$. Berechne zu

${\displaystyle q={\frac {2}{3}}-{\frac {5}{7}}{\sqrt {-13}}}$

den zugehörigen Hauptdivisorund stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisorendar.

Es seien${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}}$gebrochene Idealein einemDedekindbereich${\displaystyle {}R}$. Es gelte

${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.}$

Zeige, dass dann

${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}={\mathfrak {g}}^{-1}\,}$

ist.

Es sei${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$einIdealin einem Dedekindbereich${\displaystyle {}R}$ mit dem zugehörigen effektiven Divisor${\displaystyle {}E}$. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{-1}={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R\right\}}\,}$

gleich dem zu ${\displaystyle {}-E}$ gehörenden gebrochenen Ideal ${\displaystyle {}\operatorname {Id} (-E)}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereichund es seien${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}}$gebrochene Ideale.

1. Zeige, dass wenn es ein${\displaystyle {}r\in Q(R)}$, ${\displaystyle {}r\neq 0}$,mit

   ${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,}$

   gibt, dass dann die Multiplikation mit ${\displaystyle {}r}$, also

   ${\displaystyle Q(R)\longrightarrow Q(R),\,f\longmapsto rf,}$

   einen${\displaystyle {}R}$-Modulisomorphismus

   ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}}$

   induziert.

2. Zeige, dass wenn es irgendeinen ${\displaystyle {}R}$-Modulisomorphismus

   ${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}}$

   gibt, dass es dann schon ein${\displaystyle {}r\in Q(R)}$ mit

   ${\displaystyle {}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}\,}$

   gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist.

Zeige direkt, dass die gebrochenen Ideale${\displaystyle {}\neq 0}$ eine Gruppebilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppebilden.

Zeige, dass man jedesgebrochene Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ in einemDedekindbereich${\displaystyle {}R}$ in der Form

${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}={\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}^{-1}\,}$

mitIdealen${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}}$darstellen kann.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körperund ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ der Polynomringin zwei Variablen und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y)}$.Zeige

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\cdot {\mathfrak {m}}^{2}={\mathfrak {m}}\cdot (X^{2},Y^{2})\,.}$

Man folgere, dass die gebrochenen Ideale${\displaystyle {}\neq 0}$ zu diesem Ring keine Gruppebezüglich der Multiplikation von Idealenbilden kann.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Dedekindbereich.Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}}$ ein gebrochenes Idealmit einer Darstellung${\displaystyle {}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{h}}}$mit${\displaystyle {}h\in R}$und einem Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$. Dann ist

   ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {f}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}-\operatorname {div} {\left(h\right)}\,.}$

2. Zu einem Divisor${\displaystyle {}D}$ mit${\displaystyle {}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}}$effektivist

   ${\displaystyle {}\operatorname {Id} (D)={\frac {\operatorname {Id} (E)}{h}}\,.}$

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 13.16aus.

Es sei${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$(mit${\displaystyle {}f_{i}\neq 0}$)ein Idealin einem Zahlbereich${\displaystyle {}R}$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse gebrochene Ideal${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{-1}}$ die Gestalt

${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}^{-1}=(f_{1}^{-1},\ldots ,f_{n}^{-1})\,}$

hat. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Hauptidealsein muss.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ einZahlbereich.Erweitere die(multiplikative) Normabbildung

${\displaystyle {\text{Ideale}}\,(R)\longrightarrow (\mathbb {N} _{+},\cdot ),\,{\mathfrak {a}}\longmapsto N({\mathfrak {a}}),}$

zu einem Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle {\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)\longrightarrow \mathbb {Q} ^{\times }.}$

Finde eine (additive)Gruppe ${\displaystyle {}G}$ undGruppenhomomorphismen${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}\psi }$derart, dass das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Gebrochene Ideale}}\,(R)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\operatorname {Div} {\left(R\right)}\\\!\!\!\!\!\!\operatorname {Norm} \downarrow &&\downarrow \psi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {Q} ^{\times }&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\!\!\!\!\!\!G\end{matrix}}}$

kommutiert und dass ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist.