費雪Z分佈

Fisher's z

概率密度函數
参数	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ deg. of freedom
值域	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!}$
眾數	${\displaystyle 0}$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\ln F}$

首次由羅納德·愛爾默·費雪於1924年在多倫多舉辦的國際數學家大會的投稿文章所描述。現今則經常以F分布取代之。

費雪z分佈的機率密度函數與累積分布函數可由F分布於${\displaystyle x'=e^{2x}}$求得。然而，其平均數與變異數並不能以相同轉換方式求得。

該機率密度函數為

${\displaystyle f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}}}$

其中B為Β函數。

當自由度很大（${\displaystyle d_{1},d_{2}\rightarrow \infty }$）時，該分布逼近期望值為 ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)}$ 且變異數為 ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)}$ 的常態分布。

• 若${\displaystyle X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ 則${\displaystyle e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)}$ （F分布）。
• 若${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}$ 則${\displaystyle {\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ 。

• MathWorld entry （页面存档备份，存于互联网档案馆）