尼姆游戏

Bouton命名，他也在1901年提出了此遊戲的完整理論，不過沒有說明名稱的由來。

尼姆游戏最常見的玩法是拿到最後一個棋子的人輸（misère game）。尼姆游戏也可以改為拿到最後一個棋子的人贏（normal play）。大部份類似的遊戲都是最後一個棋子的人贏，不過這不是尼姆游戏最常見的玩法。不論哪一種玩法，只要剛好剩下一排的棋子是二個或二個以上（其他排可能沒有棋子，或是只有一個），下一個遊戲者可以輕易的獲勝。下一個遊戲者可以將數量最多的這排棋子全部拿走或只留一個。剩下的各排都只有一個棋子。 若是misère版本，下一個遊戲者下完之後，只要留下奇數排就會勝利，若是normal版本，下一個遊戲者下完之後，只要留下偶數排就會勝利。

normal版本的尼姆游戏（也就是尼姆数系統）是斯普莱格–格隆第定理的基礎，其中提到在normal版本中，每一個normal版本的无偏博弈（从任何一个局势出发，双方可以采取完全相同的行动，也就是说棋盘上没有颜色的区分）都等價於一個特定大小的尼姆堆。所有的normal版本的无偏博弈都可以給與尼姆值，但misère版本的就不一定。只有溫馴遊戲（英语：Genus theory）才能用misère版本尼姆的策略來進行。尼姆遊戲是一種特殊的偏序遊戲（英语：poset game），其中的偏序关系包括了不交集的全序關係（堆）。三排棋子尼姆遊戲的演進圖和Ulam-Warburton自動機（英语：Ulam-Warburton automaton）演進圖的三個分支相同。

normal版本是由二位遊戲者一起玩，有三排棋子，各排的棋子為任意正整數。二位遊戲者輪流選一排棋子，拿走上面至少一個棋子，也可以拿同一排的多個棋子。normal版本的目的是要拿到最後一個棋子。misère版本的目的就是要讓對方被迫拿走最後一個棋子（拿到最後一個棋子的人輸）。

以下是normal版本的遊戲，由愛麗絲與鮑伯二個人玩，三排棋子分別有三個、四個及五個棋子。

尼姆游戏的策略就是在拿完棋子後，使棋子個數符合以下任何一個組態，接下來再輪到時，一定可以再拿走適當數量的棋子，使棋子個數仍符合以下任何一個組態。normal版本和misere版本的差別只在最後一兩步，前面都相同：

*只在normal版本有效

**只在misere版本有效

其中有出現n和m，是任何正整數，n和m可以相同。

尼姆游戏在數學上是已解遊戲，針對任意排數及個數的初始狀態都已有解法，而且有簡單的方式可以判斷哪一個遊戲者會勝利，並且此遊戲者要如何取子才會勝利。

這遊戲理論的關鍵是在各排個數在二进制下XOR位操作的結果，此操作也稱為是在GF(2)中的向量加法（在模數2以下的位元加法）。在組合博弈論中常稱為是「尼姆和」（nim-sum），以下也使用此一名稱。x和y的尼姆和會寫成x ⊕ y，以和一般的和區別x + y。像3, 4, 5的尼姆和計算如下：

另一個等效，比較容易心算的作法，是將三排的個數分別表示為相異二次冪的和，再設法消除成對的次冪，再將最後留下的數字相加即可：

3 = 0 + 2 + 1 =     2   1      A排 4 = 4 + 0 + 0 = 4              B排 5 = 4 + 0 + 1 = 4       1      C排 -------------------------------------------------------------------- 2 =                 2          1和4都消去了, 剩下的是2 

在normal版本（拿到最後一個棋子的贏）中，勝利的策略就是在取走棋子後，使尼姆和為0。只要取走棋子前，尼姆和不為0，一定有辦法取走部份棋子使尼姆和為0。另一個遊戲者無論怎麼拿，取走棋子後尼姆和都不會為0。以此策略，只要在取棋子時照策略進行，一定會勝利。要找到要拿走的棋子，可以令X是原來各排棋子數的尼姆和，遊戲策略是要分別計算各排棋子數和X的尼姆和，找到尼姆和比該排棋子數少的那一排，接下來就要取走這一排的棋子，使該排棋子數等於尼姆和。以上例中，原來各排棋子數的尼姆和是X = 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2。A=3、B=4、C=5且X=2，因此得到

A ⊕ X = 3 ⊕ 2 = 1 [因為 (011) ⊕ (010) = 001 ]
B ⊕ X = 4 ⊕ 2 = 6
C ⊕ X = 5 ⊕ 2 = 7

因此下一步是取走A排的棋子，使其數量變1（拿走二個棋子）。

有一個特別簡單的例子，是只剩二排的情形，其策略是在個數較多的那牌拿走部份棋子，使兩者數量相同。接下來對手不論怎麼下，都繼續使二排的數量相同，最後即可勝利。

若是玩misère版本。前面的策略都一樣，只到只剩一排的棋子超過一個（二個或二個以上）時才有不同。此時的策略都是針對超過一個棋子的那排棋子取子，使留下來的每一排都只有一個棋子。接下來玩的人只能從這幾排中選一排拿走。取子可能是那排全部取完，或是只剩一個，視遊戲版本而定，在玩misère版本（拿到最後一個棋子的輸）時，要使留下來的排數是單數（因此對方會拿到最後一個棋子），在玩normal版本遊戲時，要使留下來的排數是偶數。（因此自己會拿到最後一個棋子）。

以下是棋子數分別是3, 4, 5個，在misère版本的玩法：

實現尼姆遊戲策略的程式範例

上述的策略可以寫成程式，以下就是Python的範例：

import functools  MISERE = 'misere' NORMAL = 'normal'  def nim(heaps, game_type):     """Computes next move for Nim, for both game types normal and misere.      if there is a winning move:         return tuple(heap_index, amount_to_remove)     else:         return "You will lose :("      - mid-game scenarios are the same for both game types      >>> print(nim([1, 2, 3], MISERE))     misere [1, 2, 3] You will lose :(     >>> print(nim([1, 2, 3], NORMAL))     normal [1, 2, 3] You will lose :(     >>> print(nim([1, 2, 4], MISERE))     misere [1, 2, 4] (2, 1)     >>> print(nim([1, 2, 4], NORMAL))     normal [1, 2, 4] (2, 1)      - endgame scenarios change depending upon game type      >>> print(nim([1], MISERE))     misere [1] You will lose :(     >>> print(nim([1], NORMAL))     normal [1] (0, 1)     >>> print(nim([1, 1], MISERE))     misere [1, 1] (0, 1)     >>> print(nim([1, 1], NORMAL))     normal [1, 1] You will lose :(     >>> print(nim([1, 5], MISERE))     misere [1, 5] (1, 5)     >>> print(nim([1, 5], NORMAL))     normal [1, 5] (1, 4)     """      print(game_type, heaps, end=' ')      is_misere = game_type == MISERE      is_near_endgame = False     count_non_0_1 = sum(1 for x in heaps if x > 1)     is_near_endgame = (count_non_0_1 <= 1)      # nim sum will give the correct end-game move for normal play but     # misere requires the last move be forced onto the opponent     if is_misere and is_near_endgame:         moves_left = sum(1 for x in heaps if x > 0)         is_odd = (moves_left % 2 == 1)         sizeof_max = max(heaps)         index_of_max = heaps.index(sizeof_max)          if sizeof_max == 1 and is_odd:             return "You will lose :("          # reduce the game to an odd number of 1's         return index_of_max, sizeof_max - int(is_odd)      nim_sum = functools.reduce(lambda x, y: x ^ y, heaps)     if nim_sum == 0:         return "You will lose :("      # Calc which move to make     for index, heap in enumerate(heaps):         target_size = heap ^ nim_sum         if target_size < heap:             amount_to_remove = heap - target_size             return index, amount_to_remove  if __name__ == "__main__":     import doctest     doctest.testmod() 

以下是必勝策略的證明，由C. Bouton所提出。

定理：在normal版本的尼姆遊戲中，第一個玩家有必勝的策略，若且唯若各排棋子數的尼姆和不為零。否則，第二個玩家有必勝的策略。

證明：注意尼姆和（⊕）遵守一般加法的结合律及交換律，還有另外一個性質x ⊕ x = 0。

令x₁, ..., x_n是移動前的各排棋子數，y₁, ..., y_n是移動後的各排棋子數。令 s = x₁ ⊕ ... ⊕ x_n且 t = y₁ ⊕ ... ⊕ y_n。若這次是移動第k排的棋子，可得x_i = y_i針對所有 i ≠ k，且x_k > y_k。依照⊕的性質，可得

    t = 0 ⊕ t       = s ⊕ s ⊕ t       = s ⊕ (x1 ⊕ ... ⊕ xn) ⊕ (y1 ⊕ ... ⊕ yn)       = s ⊕ (x1 ⊕ y1) ⊕ ... ⊕ (xn ⊕ yn)       = s ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ (xk ⊕ yk) ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0       = s ⊕ xk ⊕ yk   (*) t = s ⊕ xk ⊕ yk. 

此定理會由以下二個引理推導而來。

引理1：若s = 0，則無論如何移動，接下來t ≠ 0。

證明：若沒有任何可以移動的棋子，此引理空虛的真（英语：vacuous truth）（依定義，接下來要玩的遊戲者輸，因為在他前一手的遊戲者拿了最後一個棋子）。否則，任何k排的移動都會因為(*)，造成 t = x_k ⊕ y_k。因為x_k ≠ y_k，上述數字不為0。

引理2：若s ≠ 0，有可能讓t = 0.

證明：令d是s二進位表示法中最左邊１的位置，選擇k使x_k的第d位元也不是零。（這個k一定存在，不然s的第d位元都是零了） 令y_k = s ⊕ x_k，可以聲稱 y_k < x_k：x_k和y_k所有d左邊的位元都相同，d位元從1變為0（數值減少2^d），剩下位元的變化最多是2^d−1。因此接下來的遊戲者可以在第k'排拿走x_k− y_k個棋子，則

t = s ⊕ xk ⊕ yk           (by (*))   = s ⊕ xk ⊕ (s ⊕ xk)   = 0. 

misère版本的策略剛剛已經看過，只有在只剩一排的棋子是二個或二個以上時才不同。在這種情形s ≠ 0，接下來玩的人有必勝策略，若是normal版本，就是設法留下偶數排的棋子，每排都只有一個棋子，misère版本則反過來，設法留下奇數排的棋子，每排都只有一個棋子。

在1939年紐約世界博覽會中，西屋电气有展示一個機器，會玩尼姆遊戲的Nimatron（英语：Nimatron）。自1940年的5月11日到10月27日為止，在六週的週期內只有少數的人可以打敗Nimatron：若他們勝了，會得到一個稱為Nim Champ的硬幣。尼姆遊戲也是最早電腦化的游戲。Ferranti（英语：Ferranti）曾製作可以玩尼姆遊戲的Nimrod電腦，在1951年的英國節（英语：Festival of Britain）上展示。1952年時，W. L. Maxon公司的工程師Herbert Koppel、 Eugene Grant和Howard Bailer開發了重達23公斤（50英磅）的機器，可以和人玩尼姆遊戲，而且多半會贏。Tinkertoy（英语：Tinkertoy）也可以製作尼姆遊戲機。

尼姆游戏是马丁·加德纳在《科學美國人》（Scientific American）雜誌中，1958年2月〈數學遊戲專欄（英语：Mathematical Games column）〉的主題。在1961年法國新浪潮電影《去年在馬倫巴》中，有玩過特定版本的尼姆游戏，而且有象徵的重要性。

subtraction game

另一個有點類似的遊戲稱為subtraction game（英语：subtraction game），會先列出總數，以及每一次可以拿走的最大數量。可能每一次只能拿走1個、2個...至k個。例如在《Survivor: Thailand（英语：Survivor: Thailand）》節目中的Thai 21，就是k = 3的版本。

若棋子只有一排，共有n個棋子，其必勝策略当且仅当

n ≡ 0 (mod k + 1)（拿到最後一個棋子的人贏的玩法）或
n ≡ 1 (mod k + 1)（拿到最後一個棋子的人輸的玩法）

21遊戲

21遊戲一般會用拿到最後一個棋子的人輸的玩法。可以有數個遊戲者參與。第一個遊戲者說1，其他的遊戲者可以在前一個人的數字加1,2或是3。數到21的遊戲者輸。若是二個遊戲者玩，有必勝的策略，就是讓加完的數字維持是4的倍數。這可以使另一方最後一定會數到21。

21遊戲的數字也可以修改，例如改為「最多加5，數到34的人輸」。

以下是一個21遊戲的例子，第二個遊戲者使用必勝的策略：

遊戲者     數字   1           1   2           4   1        5, 6 或 7   2           8   1       9, 10 或 11   2          12   1      13, 14 或 15   2          16   1      17, 18 或 19   2          20   1          21 

100遊戲

另一個類似的遊戲是100遊戲：從0開始加，每一次可以加1到10之間的任一個整數，數到100的人勝利。必勝的策略是搶到類似01、12、23、34……、89的數字，接下來另一遊戲者不論加多少，都設法搶到下一個01、12、23、34……、89的數字（因為這些數字之間的差是11，不論對方加1到10之間的哪一個數字，都可以可以再加數字，使二人加的數字總計為11）。只要到89之後，接下來不論對方加多少，都可以再加數字使結果為100，因此必勝。

多排尼姆的規則

另一個版本的尼姆，是允許在每一排中取走相同數量的棋子。

循環尼姆

另一種尼姆的變體是循環尼姆（英语：Kayles），將一定數量的棋子擺成圓形，二個遊戲者輪流取棋子，可以取相鄰的一個、二個或三個棋子。以下是一個例子：

. . . . . . . . . . 

一開始取走三個棋子

_ . . . . . . . _ _ 

接下來又取走三個棋子

_ . _ _ _ . . . _ _ 

又拿走一個棋子

_ . _ _ _ . . _ _ _ 

最後剩下三個棋子，但是不相鄰，無法一次取走。

Grundy遊戲

Grundy遊戲（英语：Grundy's game）也是尼姆遊戲的變體，一開始有一排特定數量的棋子，遊戲者要輪流將某一排棋子分為二排數量不同，且都不為0的棋子。例如6個棋子可以分為5+1、4+2，但不能分為3+3。此遊戲可以讓最後一個人贏或是輸。

• 尼姆数
• 博弈论
• Dr. NIM（英语：Dr. NIM）
• 費氏尼姆（英语：Fibonacci nim）
• 威佐夫游戏
• 三角棋
• 模糊遊戲（英语：Fuzzy game）
• 零遊戲（英语：Zero game）
• 減平方數（英语：Subtract a square）
• * (遊戲理論)（英语：Star (game theory)）
• Android尼姆（英语：Android Nim）
• 雷蒙德·雷德赫弗（英语：Raymond Redheffer）
• Notakto（英语：Notakto）
• Chomp（英语：Chomp）
• 图灵落下（英语：Turing Tumble）

• 50-pound computer plays Nim- The New Yorker magazine "Talk of the Town" August, 1952  （页面存档备份，存于互联网档案馆）