מאטעמאטיק אבסטראקציע

דורך אבסטראקציע קען מען גענעראליזירן די אייגנשאפטן פונעם אביעקט.

די מערהייט פון מאטעמאטישע געביטן שטאמען פון באשעפטיקונג אין לייזן פראקטישע פראבלעמען. כאטש די מאטיוואציע פאר שטודירן א געוויסן געביט קומט פון רעאליטעט, אבער פֿאקוסירן אויף די רעאלע אביעקטן טוט אפט שטערן באקומען א באשטאנד וועגן דעם אביעקט. דער מאטעמאטיקער פרעפֿערירט צו אבטראהירן די אביעקטן וואס ער פֿארשט – צו טרעפן די פשוט׳סטע זאמלונג פון די אלע אייגנשאפטן וואס טוט גוט באשרייבן די געפארשטע אביעקטן.

דער פארקערטער פראצעס פון פארשן אן אבסטראקטן אביעקט דורך זיינס א רעאליזאציע ווערט גערופן א רעפרעזענטאציע פונעם אביעקט.

• דער קעניגסבערג בריקן פראבלעם איז א פראבלעם וואס האט לאנגע יארן געקימערט די איינוואוינער פון קעניגסבערג, וואס האבן געוואלט וויסן צי ס׳איז פאראן אן ארביט (רוטע) אין דער שטאט וואס גייט איבער אלע זיבן בריקן גענוי נאר איין מאל. דער מאטעמאטיקער לעאנהארד אוילער האט באוויזן אז דאס איז אוממעגלעך. דאס האט ער געטון דורך אן אבסטראקציע וואס פארלאזט די געאמעטריע פון דער שטאט און האט נאר באהאנדלט די באציאונגען צווישן די טיילן פון דער שטאט (אזוי ווי די אילוסטראציע אונטן). די לייזונג ווערט גערעכנט די געבורט פון גראפן-טעאריע (א גראף איז אן אבסטראקטער אביעקט  וואס קען פארגלייכן פארשידענע רעאלע אביעקט, נישט נאר בריקן נאר אפילו א געזעלשאפטלעכע נעצווערן.

  →  →  

• גרופע טעאריע, א געביט אין אבסטראקטער אלגעברע, שטודירט די אבסטראקטע אלגעברעישע סטרוקטור וואס הייסט א גרופע, וואס איז כאראקטעריזירט דורך עטלעכע אייגנשאפטן. גרופע טעאריע האט אנגעהויבן אין אנהייב פונעם  19טן יארהונדערט דורך שטודירן די לייזונג פון פאלינאמישע גלייכונגען. מ׳האט געפארשט די גלייכונגען דורך די אייגנשאפטן פון דער זאמלונג פון פערמוטאציעס. ביים סוף פונעם 19טן יארהונדערט האט קריסטאליזירט די פארשטאנד אז די רעזולטאטן וועגן זאמלונגען פון פערמוטאציעס זענען גילטיק פאר א ברייטערן אויסוואל פון אביעקטן (צום ביישפיל די  סימעטריעס פון קריסטאלן), און מ׳האט פֿארמולירט די גרונטלעכע אייגנשאפטן וואס דערמעגלעכן די גענעראליזאציע. קיילי׳ס טעארעם האט טאקע אוועקגעלייגט אז באהאנדלען אלגעמיינע גרופעס איז גלייכווערטיק מיט באהאנדלען פערמוטאציעס, אבער מאטעמאטיקער וועלן ליבערשט פירן ווייטער די שטודיע דורך אבסטראקטע גרופעס, וואס דערמעגלעכט זען זאכן א סך קלארער.
• מאדעלן טעאריע איז א געביט אין מאטעמאטישן לאגיק וואס פארשט מאטעמאטישע אביעקטן דורך פארשטיין די לאגישע סטרוקטור וואס כאראקטעריזירט זיי. פון דער טעאריע איז ארויסגעקומען דער אַקס-גראטנדיק טעארעם אין גאר אן אנדער פעלד, וואס באהאנדלט קאמפלעקסע צאל.