Фермі-Газ

Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно зарядженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе — Ейнштейна) при ${\displaystyle T=0}$  дорівнює ${\displaystyle W_{0}=0}$ . Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу ${\displaystyle W_{0}}$  із ${\displaystyle N}$  частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із ${\displaystyle N}$  квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія ${\displaystyle W_{0}}$  такого газу при ${\displaystyle T=0}$  буде відмінною від нуля.

Величину ${\displaystyle W_{0}}$  не важко обчислити. Позначивши через ${\displaystyle \mu _{0}}$  енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при ${\displaystyle T=0}$ . При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче ${\displaystyle \mu _{0}}$  буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище ${\displaystyle \mu _{0}}$  будуть вільними. Тому повинно існувати точно ${\displaystyle N}$  станів з енергією нижче або рівній ${\displaystyle \mu _{0}}$ . Цієї умови достатньо для знаходження ${\displaystyle \mu _{0}}$ . Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам ${\displaystyle \mathbf {k} }$  інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на ${\displaystyle h^{3}}$ :

${\displaystyle {\frac {g}{h^{3}}}\iint _{}^{}4\pi p^{2}\,dr\,dp=V{\frac {g}{h^{3}}}\int _{}^{}4\pi p^{2}\,dp}$ 

де ${\displaystyle g-\ }$  число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число ${\displaystyle g=2\ }$ , для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від ${\displaystyle p=0}$  до значення ${\displaystyle p_{0}}$ , визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при ${\displaystyle T=0}$  стану з енергією ${\displaystyle \mu _{0}=(2m)^{-1}p_{0}^{2}}$ , та прирівнюючи результат до ${\displaystyle N}$ , отримуємо із врахуванням того, що ${\displaystyle \rho =N/V}$ :

${\displaystyle N=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}p_{0}^{3}=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}(2m\mu _{0})^{2/3}}$ 
${\displaystyle p_{0}=({\frac {3}{4\pi g\rho }})^{1/3}h}$ 
${\displaystyle \mu _{0}={\frac {p_{0}^{2}}{2m}}={\frac {h^{2}}{2m}}({\frac {3}{4\pi g\rho }})^{2/3}}$ 

або для електронів з ${\displaystyle g=2\ }$ :

${\displaystyle \mu _{0}={\frac {h^{2}}{8m}}({\frac {3\rho }{\pi }})^{2/3},g=2}$ 

Величину ${\displaystyle \mu _{0}}$ , найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Для ненульових значень параметра ${\displaystyle \beta =1/kT}$  густину числа електронів ${\displaystyle N(\epsilon )}$  в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

${\displaystyle {\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{-3/2}\int _{}^{}\epsilon ^{1/2}\,d\epsilon }$ 

на множник ${\displaystyle {\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}}$ , який дає число електронів на один квантовий стан:

${\displaystyle N(\epsilon )={\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{-3/2}{\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}}$ 

де величина ${\displaystyle \mu _{0}}$  є хімічний потенціал при ${\displaystyle T=0}$ , а ${\displaystyle \mu }$ - хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням ${\displaystyle \epsilon }$ , то ми можемо визначити ${\displaystyle \mu }$  як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }N(\epsilon )\,d\epsilon }$  повного числа частинок ${\displaystyle N}$ . Звідси видно, що для ${\displaystyle N(\epsilon )}$  величина ${\displaystyle mu}$  є функція параметрів ${\displaystyle mu_{0}}$  та ${\displaystyle \beta }$ .

Енергію можна знайти із співвідношення:

${\displaystyle W=\int _{0}^{\infty }\epsilon N(\epsilon )\,d\epsilon }$ ,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }f(\epsilon )g(\epsilon )\,d\epsilon }$ ,

в якому функція ${\displaystyle f(\epsilon )}$  є деяка проста та неперервна функція від ${\displaystyle \epsilon }$ , наприклад ${\displaystyle \epsilon ^{1/2}}$  або ${\displaystyle \epsilon ^{3/2}}$ , та

${\displaystyle g(\epsilon )={\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}}$ .

Слід відзначити, що для більшості металів величина ${\displaystyle \mu _{0}/k}$  має порядок від ${\displaystyle 5\cdot 10^{4}}$  до ${\displaystyle 10^{5}}$  К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

${\displaystyle \mu =\mu _{0}[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\beta \mu _{0})^{-2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}(\beta \mu _{0})^{-4}+...]}$ ,

яке виражає хімічний потенціал ${\displaystyle \mu }$  через параметри ${\displaystyle \beta }$  та ${\displaystyle \mu _{0}}$ - хімічний потенціал при ${\displaystyle T=0}$ . Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає ${\displaystyle (\beta \mu _{0})^{-2}\approx 10^{-4}}$ , що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

• Енергія Фермі
• Рівень Фермі
• Модель Фермі-газу

• Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

• A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002 [Архівовано 19 вересня 2008 у Wayback Machine.]
• Seiringer, Robert -; The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas — Commun. Math. Phys. 261, 729—758 (2006) [Архівовано 15 липня 2008 у Wayback Machine.]
• Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004 [Архівовано 27 серпня 2008 у Wayback Machine.]