Геометрія Теорема Варіньона

Проведемо діагональ AC. Відрізки EF та GH будуть середніми лініями трикутників ${\displaystyle \triangle ABC}$ і ${\displaystyle \triangle ADC}$. За теоремою про середню лінію, відрізки будуть паралельними до діагоналі, а, значить, і один до одного. Повторивши аналогічні міркування для діагоналі BD, отримуємо, що протилежні сторони чотирикутника EFGH взаємопаралельні, і, за ознаками, це — паралелограм.

Нехай діагональ ${\displaystyle AC}$ проходить всередині чотирикутника. Тоді площа трикутника ${\displaystyle ABC}$ дорівнює ${\displaystyle {\frac {AC\cdot h_{b}}{2}}}$, де ${\displaystyle h_{b}}$ --- висота трикутника ${\displaystyle ABC}$, що опущена з вершини ${\displaystyle B}$. Аналогічно, площа трикутника ${\displaystyle ADC}$ дорівнює ${\displaystyle {\frac {AC\cdot h_{d}}{2}}}$. Тоді площа всього чотрикутника дорівнює ${\displaystyle {\frac {AC(h_{b}+h_{d})}{2}}}$. Але ${\displaystyle {\frac {(h_{b}+h_{d})}{2}}={\frac {h_{b}}{2}}+{\frac {h_{d}}{2}}}$ — це сума відстаней до прямої ${\displaystyle AC}$ від точок ${\displaystyle E}$ та ${\displaystyle H}$, тобто є висотою паралелограма ${\displaystyle EHGF}$. Оскільки сторона ${\displaystyle GH}$ паралелограма є удвічі меншою ${\displaystyle AC}$, то і площа паралелограма дорівнює половині площі ${\displaystyle ABCD}$.