Обернена Матриця

${\displaystyle \ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}}$

де ${\displaystyle \ I_{n}}$ одинична ${\displaystyle \ n\times n}$ матриця.

Якщо для матриці ${\displaystyle \ A}$ існує ${\displaystyle \ A^{-1}}$, то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.

• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }$  — операція обернення є інволюцією.
• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }}$  — обернення транспонованої матриці
• ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{*})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{*}}$  — обернення спряженої матриці
• ${\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$  для довільного коефіцієнта ${\displaystyle k\not =0.}$ 
• ${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}$ 
• ${\displaystyle \det(\mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )^{-1}}$  — визначник оберненої матриці.
• ${\displaystyle \operatorname {rang} (A)=n}$  — ранг матриці дорівнює розміру матриці.
• Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
• Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь ${\displaystyle Ax=b}$ , (b — ненульовий вектор) і ${\displaystyle A^{-1}}$  існує, тоді ${\displaystyle x=A^{-1}b}$ . В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.

Точні методи

• Метод Гауса — Жордана
• LU розклад матриці
• ${\displaystyle {A}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\tilde {A}}}$ 

де ${\displaystyle {\tilde {A}}}$  — союзна матриця.

Ітераційні методи

...

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$ 

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}$ .

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}.}$ 

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh=\det A\neq 0}$ .

• Теорія матриць
• Псевдообернена матриця
• Обернення блочної матриці

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Обернена матриця // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 24. — 594 с.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.