Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини.
Кардинальне число деякої множини позначається як або .
Кардинальне число | |
Формула | |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Є кількістю | елемент |
Кардинальне число у Вікісховищі |
Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.
Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.
Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:
Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.
Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.
Додавання
Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B , де А та В - довільні множини, що не перетинаються такі, що: a=[A], b=[B]. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.
Множення
Добутком двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини , де a=[A], b=[B], А та В-довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.
Піднесення до степеня
Степенем кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини , де a=[A], b=[B].
Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:
Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:
Мають місце рівності:
Істинні наступні твердження:
1) якщо і , то
2) якщо , то
3) якщо , то
4) якщо , то
Теорема 1.
для будь-якої множини А.
Теорема 2.(Г.Кантор)
для будь-якого кардинального числа а.
Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між (кардиналом множини натуральних чисел) та (кардиналом множини дійсних чисел), тобто .
This article uses material from the Wikipedia Українська article Кардинальне число, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Вміст доступний на умовах CC BY-SA 4.0, якщо не вказано інше. Images, videos and audio are available under their respective licenses.
®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Українська (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.