Дзета-Функція Рімана

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$.

У області ${\displaystyle \left\{s:\operatorname {Re} (s)>1\right\}}$, цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера)

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$ ,

де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.

• Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:

${\displaystyle 2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}}$ ,

де ${\displaystyle B_{2m}}$  — число Бернуллі. Зокрема,

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ,
${\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$ .

Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа ${\displaystyle \zeta (3)}$  (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.

• При ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ 

• ${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$ 

де ${\displaystyle \mu (n)}$  — функція Мебіуса

• ${\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$ 

де ${\displaystyle \tau (n)}$  — число дільників числа ${\displaystyle n}$ 

• ${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}}$ 

де ${\displaystyle \nu (n)}$  — число простих дільників числа ${\displaystyle n}$ 

• ${\displaystyle \zeta (s)}$  допускає аналітичне продовження на всю комплексну ${\displaystyle s}$ -площину і є регулярною функцією для всіх значень ${\displaystyle s}$ , крім ${\displaystyle s=1}$ , де вона має простий полюс із лишком, рівним 1.
  • Аналітичне продовжена дзета-функція при ${\displaystyle s\neq 0,s\neq 1}$  задовольняє рівняння:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin {\pi s \over 2}\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$ ,

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$  — Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.

• Для функції
${\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma ({\frac {s}{2}})\zeta (s)}$ 
введеною Ріманом для дослідження ${\displaystyle \zeta (s)}$  і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду
${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}$ 

Нулі дзета-функції

Основна стаття: Гіпотеза Рімана

Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<0}$ ,

функція ${\displaystyle \zeta (s)}$  має лише прості нулі у від'ємних парних точках: ${\displaystyle 0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\dots }$ . Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі ${\displaystyle \zeta (s)\not =0}$  при дійсних ${\displaystyle s\in (0,1)}$ . Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і мають властивість симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=1/2}$  і лежать у смузі ${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$ , яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції розташовані на прямій ${\displaystyle 1/2+it}$ .

Існує досить велика кількість спеціальних функцій, пов'язаних з дзета-функцією Рімана, які об'єднуються загальною назвою дзета-функції і є її узагальненнями. Наприклад:

• Дзета-функція Гурвіца:
  ${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},}$ 

яка збігається з дзета-функцією Рімана при q = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).

• Полілогарифм:
  ${\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},}$ 

який збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1.

• Дзета-функція Лерха^[en]:
  ${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},}$ 

яка збігається з дзета-функцією Рімана при z = 1 і q = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розклад у добуток.

Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел.

Проте найбільш глибокі властивості дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

Зв'язок між дзета-функцією і простими числами відкрив Ейлер, який довів таку тотожність:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$ 

де лівий бік - це ζ(s), а нескінченний добуток праворуч містить усі прості числа:

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$ 

Обидва боки формули Ейлера збігаються якщо Re(s) > 1. Доведення тотожності Ейлера використовує лише геометричні ряди і основну теорему арифметики. З того, що гармонічний ряд при s = 1 розбіжний, випливає, що формула Ейлера (яка набуває виду ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ldots ={\frac {2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot \ldots }{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdot 10\cdot \ldots }}}$ ) тягне за собою існування нескінченної кількості простих чисел.

Формулу добутку Ейлера можна використати, щоб обчислити асимптотичну ймовірність того, що s випадково вибраних цілих чисел помножинно взаємно прості. Інтуїтивно, ймовірність того, що будь-яке окремо взяте число ділиться на просте (або будь-яке ціле число), p становить 1p. Отже, ймовірність, що кожне з s чисел ділиться на це число становить 1p^s, а ймовірність, що хоча б одне ні становить 1 − 1p^s. Тепер, для різних простих чисел, ці події подільності взаємно незалежні, бо кандидати на дільники взаємно прості (число ділиться на взаємно прості дільники n і m тоді і тільки тоді, коли число ділиться на nm, подія, що відбувається з ймовірністю 1nm). Отже, асимптотична ймовірність того, що s чисел взаємно прості задається через добуток що включає всі прості,

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$ 

(Щоб довести цей результат формально потрібно більше роботи).

• Дзета-функції
• Дзета-функція Гурвіца
• Формула сумування Абеля
• Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана

• Дзета-функція Рімана [Архівовано 9 лютого 2010 у Wayback Machine.] (from MathWorld)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.