Zetufall Riemanns

Zetufallið er skilgreint þannig, fyrir Re(s) > 1:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

en mögulegt er að útvíkka það yfir alla tvinntalnasléttuna, þar sem Re(s) ≠ 1. Ofantalin framsetning Zetufallsins er sértilvik af Dirichlet-röð með a_n = 1.

Útvíkkun zetufallsins á allri tvinntalnasléttunni, þar sem Re(s) ≠ 1 gefur:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{+\infty }^{+\infty }{\frac {(-x)^{s}}{e^{x}-1}}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},}$ 

þar sem heildað er meðfram jákvæða hluta x-ássins, einu sinni umhverfis núllpunktinn, sem einnig rita á forminu

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(k+1)^{-s}.}$ 

Leonhard Euler, setti fram eftirfarandi samband fyrir rauntölu s > 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ primtala}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\\&=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+\cdots \right)\cdots \left(1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+\cdots \right)\cdots ,\end{aligned}}}$ 

þar sem p er frumtala (prímtala).

(Með því að setja s = 1 fæst umhverfuröð.)

Riemann sýndi af röðin hér að ofan er samleitin fyrir allar tvinntölur s með Re(s) > 1. Gefa má eftirfarandi samband fyrir umhverfu zetufallsins:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}}$ 

þar sem μ er Möbiusfallið.

Eftirfarandi jafna gildir á hálfsléttunni Re(s) < 0 :

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$ ,

þar sem Γ táknar gammafallið.

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},}$ 

þar sem Λ táknar Mangoldtsfallið.

Zetufallið hefur engar núllstöðvar á hálfsléttunni Re(s) > 1, en á hálfsléttunni Re(s) < 0 hefur zetufallið núllstöðvarnar s = -2n, þar sem n er náttúrleg tala. Aðrar núllstöðvar, sem eru óendanlega margar, liggja á borðanum 0 < Re(s) < 1, samhverft um ásana Im(s) = 0 og Re(s) = ½. Ósönnuð tilgáta Riemanns segir að allar "áhugaverðar" núllstöðvar liggi á línunni Re(s) = ½.

Talið er að zetufallið geti gefið mikilvægar upplýsingar um dreifingu frumtalna.

   Þessi grein er stubbur. Þú getur hjálpað til með því að bæta við greinina.