ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง

สำหรับจุดห้าจุดใด ๆ ในระนาบ จะต้องมีจุดสี่จุดซึ่งทำให้เกิดสี่เหลี่ยมนูน

แอร์ดิช และ Szekeres ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทดังนี้

สำหรับจำนวนเต็มบวก N ใดๆ มีเซตจำกัดของจุดบนระนาบที่มีจุด N จุดภายในเซตนั้น ซึ่งทำให้เกิดรูป N เหลี่ยมนูน

ให้ f(N) แทนค่า M ที่น้อยที่สุดที่ทำให้เซตของจุด M จุดใดๆ จะต้องมีจุด N จุดภายในเซตนั้น ซึ่งทำให้เกิดรูป N เหลี่ยมนูน

• f(3) = 3
• f(4) = 5 (พิสูจน์โดย Esther Klein)
• f(5) = 9 (พิสูจน์โดย E. Makai ตีพิมพ์ครั้งแรกใน พ.ศ. 2513)
• f(6) = 17 (พิสูจน์โดย Szekeres and Lindsay Peters โดยใช้คอมพิวเตอร์)

สำหรับ F(N) เมื่อ N เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ยังไม่มีสูตรที่ใช้หา แอร์ดิชและ Szekeres ตั้งข้อคาดเดาไว้ว่า

${\displaystyle f(N)=1+2^{N-2}\quad {\mbox{for all }}N\geq 3}$ 

ในปี พ.ศ. 2504 แอร์ดิชและ Szekeres พิสูจน์ได้ว่า

${\displaystyle f(N)\geq 1+2^{N-2}}$ 

ขอบเขตบนของ f(N) เมื่อ ${\displaystyle N\geq 5}$  ที่ดีที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ

${\displaystyle f(N)\leq {2N-5 \choose N-3}+1=\Theta \left({\frac {4^{N}}{\sqrt {N}}}\right)}$ 

• ปัญหาแฮปปี้เอ็นดิ้ง เก็บถาวร 2006-09-25 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน จาก PlanetMath
• Eric W. Weisstein, Happy End Problem จาก MathWorld.