素数 素因数分解の可能性・一意性
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- 以上の自然数は、素数の積で表せる。その表し方は積の順序を除けば一意である」という、素因数分解の可能性・一意性が成立する（算術の基本定理）。素因数分解の可能性から、素数全体の成す集合は、2以上の自然数全体の成す集合とその乗法からなる半群の最小の生成系である。言い換えれば、これは「素数は自然数の構成要素である」などとなる。…
- 36/1 一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。 N の素因数分解を N = 2a13a25a3⋯ とすると、N の約数の個数は (a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)⋯個 素因数分解の可能性と一意性（特に一意性）は自明な定理ではない（これを算術の…
\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]} で因数分解を行うものであったが、この整数環では素因数分解の一意性が成立しない（一意分解環ではない）という不備があったので、のちに √−3 の代わりに 1の原始3乗根 ζ3=(−1±−3)/2{\displaystyle \zeta _{3}=(-1\pm…
素数の複素数乗も一般には多価になる。特に ω = 1/n（n は自然数）の形のときは、複素数 z の n乗根 n√z を表し、値は一意に定まらない。 対数函数の適当な枝をとって一価函数として扱うとき、実数の実数乗に対して成立していた指数法則や対数法則は、複素数の複素数乗では一般に成り立たない。例えば、…- アルゴリズム (カテゴリ アラビア語の語句)ユークリッドの互除法 - 最大公約数を求める ガウスの消去法 - 線型方程式系（連立方程式）の解を求める ニュートン法 - 繰り返し計算により解の精度を高める方法で非線型方程式の数値解を1つ求める ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム - 円周率を求める 素数判定法 - 与えられた自然数が素数かどうかを判定する…
- かつ、適当な番号の付け替えによって、bi = aiui が全ての i について成立させることができる。ただし、ui は R の適当な単元である。 2番目の条件は R の「非自明」な元の既約元への分解を保証するものであり、3番目の条件によってそのような分解は「単元を掛ける違いを除いて」一意的である。一意性…
- 組合せ数学 (カテゴリ 日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事)因数分解と組み合わせ方法に関連した考え方を導入した。アル・ファリシのアプローチは、彼自身も証明した算術の基本定理である自然数の素因数分解の一意性に基づいたものだった。アル・ファリシは三角数と二項係数の関係を見て取り、数学的帰納法の萌芽的な議論を用いて三角数や三角錐数、五胞体数、などと n 個の対象から…
- {p_{n}}^{x_{n}}} 算術の基本定理によれば、このようにして得られた値の素因数分解は一意に定まる。従って、ゲーデル数から元の数列を効率的に復元可能である。 ゲーデルはこの手法を2つのレベルで使った。第一に数式を構成するシンボル列を符号化するのに用い、第二に証明を表している数式列の…
楕円曲線 (カテゴリ 日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事)へ写されると、対応する曲線は同型となる。楕円曲線の同型類はj-不変量により特定される。 同型類は同じ方法で理解することができる。定数 g2 と g3 は、j-不変量と呼ばれ、トーラスの構造である格子により一意に決定される。しかしながら、複素数の全体は、実係数多項式の分解体を成し、楕円曲線は…- を満たすものを見つけることである。ヘンゼルの補題は、この因数分解の持ち上げが緩い条件のもとで常に可能であることを主張するものである。 元々のヘンゼルの補題は、整数を係数とする多項式の素数 p を法とする因数分解を p の冪乗を法とする因数分解、もしくは p 進整数環上の因数分解…
- 黒川信重 (カテゴリ 内容の精度・確度に欠けている可能性のある記事)- 「2500年の歴史素因数分解の一意性」収録。 小島寛之 共著『リーマン予想は解決するのか？ 絶対数学の戦略』青土社、2009年6月。ISBN 978-4-7917-6487-7。 小山信也 共著『リーマン予想のこれまでとこれから』日本評論社、2009年12月。…
- 数学ガール (カテゴリ 日本の小説のシリーズ)テイラー展開（作中で実際に使われたのはマクローリン展開） 代数学の基本定理 ガウスの証明 分割数 上界 数学的帰納法 Hans Rademacherの式（英語版） 素数 時計巡回 完全巡回 最大公約数 互いに素 数論 無限 原始ピタゴラス数 有理点 単位円 矛盾 背理法 素因数 素因数分解 素因数分解の一意性 分数 通分…
- 冪乗 (カテゴリ 日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事)でなければ逆元が存在するので、指数は有理数全体まで拡張される。 x (>0) の冪は、その指数に関して極限を取ることによって実数上の関数に拡張され、連続関数になる。連続な拡張は一意であり、これを x を底とする指数関数と呼ぶ。 複素数 z に対して、函数 exp を級数 exp ( z ) := ∑ n…
エミー・ネーター (カテゴリ 日本語版記事がリダイレクトの仮リンクを含む記事)整数の全体はすべての可換環では成り立たない性質を持っている。重要な例は算術の基本定理で、任意の正整数は素数の積に一意的に分解できる。一意的な分解は他の環では必ずしも存在しないが、ネーターは多くの環のイデアルに対して、今ではラスカー・ネーターの定理と呼ばれる一意分解の定理を発見した。ネーターの仕事の…- て研究、素数が無限に存在することを証明しユークリッドの互除法を発見する。ユークリッドは「反射光」における反射の様子を述べ、算術の基本定理（素因数分解の一意性）を証明した。 紀元前300年頃 — ブラーフミー数字（現代一般的に使用されている10進法の基礎となる記数法）がインドで普及する。 紀元前300年…
- 超特異同種写像ディフィー・ヘルマン (安全性の節)のに対して、量子コンピュータ上で動作するショアのアルゴリズムは素因数分解を多項式時間で実行できる。これは、公開鍵暗号においては重要なことである。代表的な公開鍵暗号であるRSA暗号の安全性は素因数分解の困難性に依存している。また、ショアの…
