Иерархия Алефов

Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф (ℵ) еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.

Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная»), которая обозначается символом ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (читается: «алеф-ноль»), далее следует ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (алеф-один) и так далее.

Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы).

Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса (${\displaystyle \infty }$), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание (${\displaystyle -\infty }$ означает неограниченное убывание) функции, либо особую («бесконечно удалённую») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.

Как сказано выше, символ ${\displaystyle \aleph _{0}}$  обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть ${\displaystyle \alpha }$  — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал ${\displaystyle \omega _{\alpha }.}$  Тогда символ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$  обозначает мощность множества всех порядковых чисел, меньших ${\displaystyle \omega _{\alpha }.}$ 

Некоторые свойства.

• Все алефы сравнимы между собой, из двух алефов больше тот, у которого больше индекс.
• Каждое кардинальное число совпадает с одним из алефов (для доказательства необходима аксиома выбора).
• Предположение: ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$  известно как континуум-гипотеза.
• Множество всех алефов, меньших заданного ${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$  вполне упорядочено, и его порядковый тип равен ${\displaystyle \alpha .}$ 
• Кардинальное число ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$  непосредственно следует за ${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$  никаких промежуточных мощностей между ними нет.
• Наибольшего элемента среди алефов нет. Иерархия алефов не образует множества в смысле аксиоматики Цермело-Френкеля.

Алеф-ноль

${\displaystyle \aleph _{0}}$  (алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$  первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой ${\displaystyle \omega }$  (омега), или ${\displaystyle \omega _{0};}$  оно имеет мощность ${\displaystyle \aleph _{0}.}$ 

Множество имеет мощность ${\displaystyle \aleph _{0}}$  тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . Примеры множеств мощности ${\displaystyle \aleph _{0}}$ :

• множество всех квадратных чисел, множество всех кубических чисел;
• множество всех чётных чисел, множество всех нечётных чисел;
• множество всех простых чисел, множество всех составных чисел;
• множество всех целых чисел;
• множество всех рациональных чисел;
• совокупность всех геометрических величин, которые можно построить циркулем и линейкой;
• множество всех алгебраических чисел,
• множество всех вычислимых чисел,
• множество всех определимых чисел^[en];
• множество всех двоичных строк конечной длины;
• множество всех конечных подмножеств заданного счётного множества.

Бесконечные ординалы:

${\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega \cdot 2,\omega ^{2},\omega ^{\omega }}$ 

все относятся к счётным множествам. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности ${\displaystyle \aleph _{0}}$ .

Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то ${\displaystyle \aleph _{0}}$  меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.

Алеф-один

${\displaystyle \aleph _{1}}$  (алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается ${\displaystyle \omega _{1}}$  (иногда ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ). Ординал ${\displaystyle \omega _{1}}$  больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, ${\displaystyle \aleph _{1}}$  не совпадает с ${\displaystyle \aleph _{0}}$  и больше его.

Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между ${\displaystyle \aleph _{0}}$  и ${\displaystyle \aleph _{1}}$  нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества ${\displaystyle \omega _{1}\colon }$  любое счётное подмножество ${\displaystyle \omega _{1}}$  имеет верхнюю границу в ${\displaystyle \omega _{1}}$  (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в ${\displaystyle \aleph _{0}}$ : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.

Если принять континуум-гипотезу, то с аксиомой выбора ${\displaystyle \aleph _{1}}$  совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то с аксиомой выбора континуум соответствует одному из более далёких алефов. Без аксиомы выбора континуум может как быть алефом, так и нет.

Георг Кантор определил для любых кардинальных чисел операции, аналогичные обычным арифметическим. Свойства их, однако, во многом отличаются от обычных и часто требуют применения аксиомы выбора. Примеры:

• Сумма любого алефа с самим собой даёт тот же алеф: ${\displaystyle \aleph _{\alpha }+\aleph _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ .
• Конечная степень любого алефа даёт тот же алеф: ${\displaystyle (\aleph _{\alpha })^{n}=\aleph _{\alpha }}$ .
• Сумма и произведение разных алефов даёт наибольший из них: ${\displaystyle \aleph _{\alpha }+\aleph _{\beta }=\aleph _{\beta },\quad \aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\beta }=\aleph _{\beta },\quad \beta >\alpha }$ .

• Бет-число