4-Вектор

Компоненты любого 4-вектора, описывающего физическую систему, при переносе или повороте системы отсчёта, а также при переходе из одной системы отсчёта в другую преобразуются по одному и тому же закону, задаваемому преобразованием системы отсчёта. В 4-векторе одна временна́я компонента и три пространственных. Пространственные компоненты составляют обычный пространственный трёхмерный вектор, компоненты которого могут быть выражены в декартовых, цилиндрических, сферических и в любых других пространственных координатах.

• В современных обозначениях временно́й компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным — 1, 2, 3 (совпадающим с x, y, z; обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временна́я компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
• Иногда бывает удобно приписывать временно́й компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временну́ю компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым и иногда используется и в современной литературе.
• 4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой, хотя в большинстве случаев случаях это различие подчиняется весьма простому правилу.

Здесь и далее используется сигнатура ${\displaystyle (+,~-,~-,~-)}$ .

• 4-перемещение:
  ${\displaystyle dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),}$ 
• 4-скорость:
  ${\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }},}$  где ${\displaystyle \tau }$  — «собственное время», равное деленному на скорость света интервалу, ${\displaystyle \tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}}$ , измеренному вдоль мировой линии. Геометрически 4-скорость является единичным вектором, касательным к мировой линии частицы.
• 4-ускорение:
  ${\displaystyle a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }},}$  где ${\displaystyle \tau }$  — см. выше. Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии частицы.
• 4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс):
  ${\displaystyle p^{i}=\left({\frac {\varepsilon }{c}},~p_{x},~p_{y},~p_{z}\right)}$ . Для частицы с ненулевой массой в отсутствие внешних полей ${\displaystyle p^{i}=c\,mu^{i}}$ .
• четырёхмерная плотность тока (4-ток):
  ${\displaystyle j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});}$ 
• волновой 4-вектор:
  ${\displaystyle k_{i}=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right);}$ 
• Электромагнитный потенциал:
  ${\displaystyle A_{i}=(\varphi ,~{-A}_{x},~{-A}_{y},~{-A}_{z}).}$ 

• Закон преобразования четырёхвектора:

${\displaystyle {\tilde {A}}^{i}=\sum _{j}S_{j}^{i}\ A^{j},}$ 

где ${\displaystyle S_{j}^{i}}$  — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

• Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
  • Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
  • Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: ${\displaystyle m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}}$  и т. д.

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так, 4-вектор ${\displaystyle a}$  обозначается как ${\displaystyle a^{i}}$  (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или ${\displaystyle a_{i}.}$ 

Координаты, 3 пространственные и временную, обычно обозначают как ${\displaystyle x^{i}.}$ 

Что означает при этом использование верхнего (${\displaystyle a^{i}}$ ) или нижнего (${\displaystyle a_{i}}$ ) индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним — ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления — контравариантное и ковариантное.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчёта, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временно́й (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

${\displaystyle (a,b)=a^{i}b_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}$ 

и в частности

${\displaystyle (a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1}+a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}}$ 

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца ${\displaystyle \eta _{ij}}$  (или ${\displaystyle \eta ^{ij}}$ ):

${\displaystyle (a,b)=\eta _{ij}a^{i}b^{j}\equiv \sum _{i,j}\eta _{ij}a^{i}b^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}}$ 

или

${\displaystyle (a,b)=\eta ^{ij}a_{i}b_{j}\equiv \sum _{i,j}\eta ^{ij}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}$ 

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчёта, в том числе при учёте гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики ${\displaystyle \eta _{ij}}$  приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику ${\displaystyle g_{ij}.}$  (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше, надо в общем случае заменить ${\displaystyle \eta _{ij}}$  на ${\displaystyle g_{ij}}$ , а ${\displaystyle \eta ^{ij}}$  на ${\displaystyle g^{ij}}$ ). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестаёт действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрики ${\displaystyle g_{ij}}$  общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

${\displaystyle a^{i}=g^{ij}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{ij}a_{j},}$ 
${\displaystyle a_{i}=g_{ij}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{ij}a^{j}.}$ 

(Как видим, эти формулы были верны и для ${\displaystyle \eta _{ij},}$  но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь — в общем случае — уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве-времени с кривизной (которое уже правильно считать только многообразием, а не векторным пространством), совокупность координат ${\displaystyle x^{i}}$  уже не является вектором. Однако бесконечно малые смещения по координатам ${\displaystyle dx^{i}}$  представляют вектор (вектор касательного пространства к многообразию в точке ${\displaystyle x^{i}}$ ).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно — контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: ${\displaystyle (\partial _{0},-\partial _{1},-\partial _{2},-\partial _{3}),}$  так как полный дифференциал ${\displaystyle df=\partial _{0}fdx^{0}+\partial _{1}fdx^{1}+\partial _{2}fdx^{2}+\partial _{3}fdx^{3}}$  — должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за ${\displaystyle \eta _{ij}.}$ 

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временно́й компоненты лишён этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры — всё равно дело договоренности). То есть о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже ${\displaystyle \eta _{ij},}$  то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

• 4-перемещение ${\displaystyle dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),}$ 
• 4-импульс ${\displaystyle p_{\mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),}$ 
• четырёхмерная плотность тока ${\displaystyle j_{\mu }=(ic\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}),}$ 
• волновой 4-вектор ${\displaystyle k_{\mu }=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),}$ 
• электромагнитный потенциал ${\displaystyle A_{\mu }=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}),}$ 

и т. д., где i — мнимая единица.

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

${\displaystyle \mathbf {x} :=\left(ct,x,y,z\right),}$ 

где ${\displaystyle c}$  — скорость света, ${\displaystyle t}$  — время события, а ${\displaystyle x,y,z}$  — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 2. Интервал. § 3. Собственное время. § 6. Четырёхмерные векторы. § 7. Четырёхмерная скорость. // Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6. — гл. 25. «Электродинамика в релятивистских обозначениях». (Это простое введение для студентов младших курсов; во избежание путаницы следует обратить внимание, что в этой книге используются только нижние индексы, относящиеся, однако, к контравариантным компонентам 4-векторов).