В математике, целая часть вещественного числа x — округление x до ближайшего целого в меньшую сторону.
Целая часть числа также называется антье (фр.entier), или пол (англ.floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ.ceiling) — округление до ближайшего целого в большую сторону.
Впервые квадратные скобки () для обозначения целой части числа использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности. Это обозначение считалось стандартным, пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил округление числа до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» и обозначать и соответственно.
В современной математике используются оба обозначения, и , однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, , однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–x) = –INT(x), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:
Вообще, если — произвольное вещественное число, а — целое положительное, то
Имеет место более общее соотношение :
Так как правая часть этого равенства симметрична относительно и , то справедлив следующий закон взаимности:
Разложимость в ряд
Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:
где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот рядсходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду
Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.
Операция «остаток по модулю», обозначаемая , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если — произвольные вещественные числа, и , то неполное частное от деления на равно
Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().
В системах вёрстки
В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка , , , существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.
Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.
This article uses material from the Wikipedia Русский article Целая часть, which is released under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 license ("CC BY-SA 3.0"); additional terms may apply (view authors). Если не указано иное, содержание доступно по лицензии CC BY-SA 4.0. Images, videos and audio are available under their respective licenses. ®Wikipedia is a registered trademark of the Wiki Foundation, Inc. Wiki Русский (DUHOCTRUNGQUOC.VN) is an independent company and has no affiliation with Wiki Foundation.